Comment disposer trois gnomons pour que l'extrémité de l'ombre de chaque gnomon passe par le pied des deux autres

Calcul d'une configuration de trois gnomons

Toutes les équations que nous établirons seront valables pour tous les points du globe, la latitude sera comptée négative pour l'hémisphère sud. Soit P cette latitude et D la déclinaison du soleil répondant à la première condition définie précédemment.

Définissons l'emplacement du second gnomon par l'extrémité de l'ombre du premier à une heure vraie choisie. Pour nous assurer de bien respecter la seconde condition, calculons les heures vraies limites entre lesquelles nous pourrons faire notre choix. Dans les zones polaires, quand le soleil ne se couche pas de la journée, c'est à dire si Abs (P + D) > 90° ou encore si cos P < Abs (sin D) étant donné qu'on remplit la première condition, il n'y a pas de limitation pour l'azimut du soleil ni pour l'angle horaire. On peut donc choisir une heure quelconque de la journée.
Si le soleil se couche nous avons vu que l'azimut du soleil Az, compté par rapport au sud et positif vers l'ouest, doit être tel que:

  Abs (cos Az) < Abs (sin D/cos P)

Lorsque Az = ±Arccos (-sin D/cos P) le soleil est sur l'horizon et sa hauteur H est nulle. Calculons H quand Az = ±Arccos (sin D/cos P), pour cela remplaçons cos Az dans la formule:

  sin D = sin P.sin H - cos P.cos H.cos Az

On obtient: sin D = sin P.sin H - cos H.sin D

En posant t = tg H/2, nous avons:

  sin H = 2t/(1 + t²)  et  cos H = (1 - t²)/(1 + t²)

d'où: (1 + t²).sin D = 2t.sin P - (1 - t²).sin D

  2sin D = 2t.sin P

  t = sin D/sin P

  H = 2Arctg (sin D/sin P)

Appelons HM cette hauteur, d'après la formule donnant l'angle horaire Ah en fonction de la hauteur du soleil:

            sin H - sin P.sin D
  cos Ah = ---------------------
                cos P.cos D

Il faut, pour remplir la seconde condition, que la valeur absolue de Ah soit comprise entre:

             sin HM
  Arccos (------------- - tg P.tg D)
           cos P.cos D

et  Arccos (-tg P.tg D)

Pour calculer la configuration des trois gnomons utilisons le repère suivant:

Axe des x: horizontal en direction du sud
Axe des y: horizontal en direction de l'est
Axe des z: vertical vers le zénith

Afin de faciliter les calculs, considérons que le premier gnomon soit situé à l'origine et utilisons comme unité de longueur la hauteur de ce gnomon. En final, pour obtenir les grandeurs réelles dans une unité métrique, il suffira de multiplier tous les résultats de longueur par la hauteur du premier gnomon exprimée dans l'unité choisie. Le tableau suivant liste les grandeurs associées à chaque gnomon et résume ce que nous venons de dire.

Gnomon Hauteur Hauteur réelle Coordonnées du pied Coordonnées réelles

1 1 G 0, 0 0, 0

2 g2 G2 = G.g2 x2, y2 X2 = G.x2, Y2 = G.y2

3 g3 G3 = G.g3 x3, y3 X3 = G.x3, Y3 = G.y3

Gnomon	Hauteur	Hauteur réelle	Coordonnées du pied	Coordonnées réelles
1	1	G	0, 0	0, 0
2	g2	G2 = G.g2	x2, y2	X2 = G.x2, Y2 = G.y2
3	g3	G3 = G.g3	x3, y3	X3 = G.x3, Y3 = G.y3

A partir de l'angle horaire Ah choisi, on obtient les coordonnées du pied du second gnomon par les relations:

  Dn = sin P.sin D + cos P.cos D.cos Ah

  x2 = (cos P.sin D - sin P.cos D.cos Ah)/Dn

  y2 = cos D.sin Ah/Dn

Recherchons l'équation des courbes d'ombre. Considérons par exemple le second gnomon, soient S son sommet et M, de coordonnées (x, y, 0), un point de sa courbe d'ombre. La direction du soleil est donnée par le vecteur MS de composantes:

  MS (-(x - x2)
     (-(y - y2)
     (g2

et de longueur: MS = Rac((x - x2)² + (y - y2)² + g2²)

Faisons tourner le repère autour de l'axe des y de l'angle 90° - P, il devient équatorial et les composantes du vecteur MS s'écrivent alors:

  MS (-sin P.(x - x2) + cos P.g2
     (-(y - y2)
     (cos P(x - x2) + sin P.g2

Par ailleurs dans le repère équatorial les composantes s'écrivent aussi en fonction de l'angle horaire Ah et de la déclinaison D:

  MS (MS.cos D.cos Ah
     (-MS.cos D.sin Ah
     (MS.sin D

L'égalité des deux premières composantes nous permet d'obtenir directement l'angle horaire, et par suite l'heure vraie, à partir d'un point de la courbe d'ombre. En faisant le rapport des deux égalités on obtient:

                y - y2
  tg Ah = ---------------------------
           cos P.g2 - sin P.(x - x2)

Relation valable pour le second gnomon, pour les autres il suffit d'utiliser les coordonnées du pied et la hauteur du gnomon considéré.

En élevant au carré l'égalité des troisièmes composantes on obtient l'équation de la courbe d'ombre (une approche différente pour obtenir cette équation est proposée à la page Foire Aux Questions):

  MS².sin² D = cos² P.(x - x2)² + 2.cos P.sin P.(x - x2).g2 + sin² P.g2²

Soit en utilisant l'expression de MS:

  I.(x - x2)² + J.(y - y2)² + K.(x - x2).g2 + L.g2² = 0  (1)

avec:  I = sin² D - cos² P
       J = sin² D
       K = -sin 2P
       L = sin² D - sin² P

Cette équation est générale. J est un carré, donc toujours positif. Lorsque le soleil ne se couche pas de la journée, I est aussi positif: la courbe d'ombre est une ellipse. Lorsque le soleil se couche, J est négatif et on a l'équation d'une hyperbole. La courbe d'ombre n'est cependant qu'une des branches de cette hyperbole, l'autre est associée à la course du soleil sous l'horizon. Dans l'hémisphère nord, si on rempli la première condition, la courbe d'ombre est la branche la plus au sud. Inversement dans l'hémisphère sud, c'est la branche la plus au nord.
On trouvera de la même façon pour les deux autres gnomons:

  I.x² + J.y² + K.x + L = 0  (2)

  I.(x - x3)² + J.(y - y3)² + K.(x - x3).g3 + L.g3² = 0  (3)

Le pied du second gnomon étant sur la courbe d'ombre du premier on a:

  I.x2² + J.y2² + K.x2 + L = 0  (4)

Il faut que la hauteur g2 du second gnomon soit telle que sa courbe d'ombre passe par le pied du premier gnomon, on doit vérifier dans ce cas:

  I.x2² + J.y2² - K.x2.g2 + L.g2² = 0  (5)

Par soustraction de (5) à (4) on obtient:

  K.x2.(1 + g2) + L.(1 - g2²) = 0

  K.x2 + L.(1 - g2) = 0

  g2 - 1 = K.x2/L  (6)

D'où la hauteur du second gnomon:

  g2 = K.x2/L + 1

En faisant le même raisonnement avec le premier et le troisième gnomon on obtient:

  g3 = K.x3/L + 1  (7)

Pour obtenir les points d'intersection des courbes d'ombre du premier et du second gnomon il faut résoudre le système d'équation (1) et (2). On obtient toujours deux solutions. Dans les zones polaires, quand le soleil ne se couche pas, ces solutions correspondent à deux configurations possibles. Lorsque le soleil se couche, pour connaître le nombre de configuration il faut savoir si ces solutions sont situées ou pas sur la même branche d'hyperbole.
Pour résoudre le système développons (1):

  I.x² - 2I.x2.x + I.x2² + J.y² - 2J.y2.y + J.y2² + K.x.g2 - K.x2.g2 + L.g2² = 0

Retirons (2) et (5), on obtient:

  -2I.x2.x - 2J.y2.y + K.x.(g2 - 1) - L = 0

D'après (6), en changeant de signe et en divisant par 2, on trouve:

  (I - K²/2L).x2.x + J.y2.y + L/2 = 0

Posons U = I - K²/2L et exprimons y en fonction de x:

         U.x2.x + L/2
  y = - --------------  (8)
            J.y2

Dans le cas où le soleil se couche, la pente des asymptotes aux hyperboles est Rac (-I/J) et -Rac (-I/J). (8) est l'équation de la droite qui passe par les deux points d'intersection. Si la pente de cette droite a une valeur absolue supérieure à Rac (-I/J) les deux points d'intersections sont situés sur la même branche d'hyperbole. Il y a, dans ce cas, deux configurations possibles. Exprimons cette condition:

       U.x2            I
  Abs(------) > Rac(- ---)
       J.y2            J

   U².x2²       I
  -------- > - ---
   J².y2²       J

              U².x2²
  J > 0 ==>  --------  > - I
               J.y2²

  I.J.y2² + U².x2² > 0

Quand le soleil ne se couche pas de la journée, I étant positif, cette condition est toujours remplie. On peut donc l'utiliser de façon générale quelque soit le type de courbe d'ombre.
Pour terminer la résolution du système, remplaçons (8) dans (2). On obtient:

               U.x2.x + L/2
  I.x² + J.(- --------------)² + K.x + L = 0
                  J.y2

  I.J.y2².x² + U².x2².x² + U.L.x2.x + L²/4 + J.K.y2².x + J.L.y2² = 0

  (I.J.y2² + U².x2²).x² + (J.K.y2² + U.L.x2).x + (J.L.y2² + L²/4) = 0

Equation du second degrés en x, posons:

  A = I.J.y2² + U².x2²
  B = J.K.y2² + U.L.x2
  C = J.L.y2² + L²/4

et remarquons que c'est le signe de A qui nous permet de connaître le nombre de configurations. Dans l'hémisphère nord, lorsqu'il n'y a qu'une configuration, c'est à dire si A est négatif, il faut retenir la solution la plus positive. Dans l'hémisphère sud ce sera la solution la plus négative. En posant S = 1 pour les latitudes positives et S = -1 quand elles sont négatives, la solution qui correspond toujours à une configuration est:

  x3 = (-B - S.Rac (B² - 4A.C))/2A

Si A est positif, l'autre solution permet de calculer la seconde configuration:

  x3 = (-B + S.Rac (B² - 4A.C))/2A

A l'aide de la relation (8) on peut alors calculer y3 et (7) donne la hauteur du troisième gnomon.
Pour terminer de calculer entièrement la ou les configurations, n'oublions pas de multiplier toutes les grandeurs par la hauteur du premier gnomon.

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Date de création: 21 Février 2000