Un cadran horizontal à tracer au compas et à la règle

Construction par le calcul

Afin de pouvoir réaliser ce cadran par le calcul, établissons les relations définissant la position des points principaux. Calculons d'abord le rayon d'un cercle correspondant à la déclinaison d du soleil. En prenant les notations de la figure 4 posons:
a = AO / BO ou encore a = tg OBA
en considérant a positif lorsque le point A est situé au sud de O sur l'axe du monde. Appelons également:
- e la distance BO
- r le rayon cherché égal à la distance B1D1

Fig. 4

On a les deux relations suivantes:

B1J = r . tg d = a .BJ

BJ = e - r
En remplaçant BJ dans la première relation, on obtient:
r . tg d = a . ( e - r )

d'où: r . ( tg d + a ) = e . a

             e . a
soit : r = ----------
            tg d + a
Déterminons maintenant la relation donnant la distance à O' de la projection M' d'un point de l'axe polaire M en fonction de la distance de ce point à O.

Fig. 5

Posons MO et M'O' positif pour M et M' situé respectivement au sud de O et O'. Pour la projection d'angle (90 - L) / 2 par rapport à la verticale on a:

M'O' = MK = MO . tg ((90 - L) / 2)
De même pour la projection utilisant l'angle (90 + L) / 2 on a:
M'O' = MN = MO . tg ((90 + L) / 2)
Ce qui nous permet d'écrire pour les centres des cercles, indépendamment de l'hémisphère où se situe le cadran:
F1O' = D1O . tg ((90 + L) / 2) = r. tg d . tg ((90 + L) / 2)

               e . a
Soit: F1O' = ---------- tg d . tg ((90 + L) /2)
              tg d + a
Et la position du point d'intersection des lignes horaires:
IO' = AO . tg ((90 + L) / 2) = e . a . tg ((90 + L) / 2)
Enfin déterminons u, compté positif dans le sens des aiguilles d'une montre, l'angle d'une ligne horaire par rapport à la demi-droite O'H. En divisant le cercle des équinoxes et pour l'angle horaire h, on a dans le cas de la projection d'angle (90 - L) / 2:
            e . sin h                  sin h
tg u  = ----------------- = ------------------------------
         IO' + e . cos h     a . tg ((90 - L)/ 2) + cos h
Et pour la projection d'angle (90 + L) / 2:
                   sin h
tg u = -------------------------------
        a . tg ((90 + L) / 2) - cos h
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Date de création: 29 Juin 97