Dans l’opuscule sur l’analemme que j’ai publié en 2009 et qui se trouve ici :
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j’ai montré qu’on pouvait aussi retrouver le principe de ces instruments en utilisant la technique de l’analemme, soit sur le vertical du Soleil pour le premier instrument (p. 76), soit sur le méridien du Soleil pour le second (p. 26).Dans cette contribution, je vous propose d’expliquer à l’aide de figures, insérées dans un diaporama et parfois animées, comment on peut faire le lien entre ces deux approches qui, sans surprise, sont équivalentes. Je commencerai dans ce premier message, suivant l’ordre de Lambert, par l’intrument qui fournit l’azimut et qui est représenté par cette très belle gravure :
Crédit de numérisation : SUB, Göttinger Digitalisierungszentrum
La règle AB est mobile autour de l’axe A du secteur ADF qui, lui aussi, est mobile autour de l’axe R du secteur RNC. La règle AB doit être réglée suivant la déclinaison du Soleil et l’intrument est utilisé en maintenant la graduation CN verticale. En déplaçant le secteur ADF, la règle AB est alors dirigée vers le Soleil dont elle indique l’azimut par son intersection avec la graduation CN.
Revenons aux considérations géométriques utilisées pour définir ce cadran à partir du triangle AEC de la sphère. Lambert introduit la projection stéréographique qu’il va utiliser de cette manière : « Il s’agit maintenant de projeter le triangle AEC de telle sorte que l’œil soit sur la sphère à l’opposé du point E et que le tableau soit perpendiculaire à la ligne tirée de l’œil en E ».
Les termes « œil » et « tableau » sont empruntés à la perspective et correspondent respectivement aux centre et plan de projection de la géométrie projective. D’après les relations algébriques que Lambert donne ensuite, il apparaît que le plan de projection passe par le centre de la sphère. Comme le point E est sur l’horizon, le plan de projection est vertical. Enfin, comme E est sur l’« horizon du Soleil » (le grand cercle dont le Soleil est le pôle), le plan de projection est précisément le vertical du Soleil, soit le même plan que celui utilisé avec la technique de l’analemme.
Dans le diaporama explicatif qui suit, j’ai utilisé un artifice pour obtenir la projection stéréographique de la sphère. Dans un premier temps, je l’ai orienté de façon que la figure elle-même soit dans le vertical du Soleil. La figure peut ainsi être considérée comme la projection de la sphère faite à partir d’un centre (l’œil) situé derrière la figure, à l’infini. En rapprochant progressivement le centre, la figure évolue. Quand il touche la sphère, la figure correspond alors à la projection stéréographique de celle-ci, ce qui donne au cercle de l’horizon la forme d’un cercle.
Je vous laisse naviguer dans le diaporama en cliquant sur les flèches qui se trouvent en bas des figures.
Voyons comment on peut confirmer rigoureusement que la projection de Lambert est équivalente à la construction par l’analemme. Ces deux projections sont superposées sur la partie droite de la figure suivante. Soit l’axe XX’ qui passe par les centres E et T des deux cercles (A) et (L). Par symétrie, cet axe passe aussi par le pied E’ du pôle Nord P. Considérons maintenant le plan (P) perpendiculaire à la figure et passant par l'axe XX’, il est rabattu sur la partie gauche de la figure et les traits en pointillé permettent de faire le lien entre les deux parties. Sur le rabattement, on retrouve le cercle (C) qui correspond à la trace de la sphère, UV est la trace de l’équateur qui est perpendiculaire à (P), le pôle Nord est sur le cercle en P et O est le centre de la projection stéréographique qui projette U en U’ et V en V’.
Les rayons IP et IO sont respectivement perpendiculaires aux diamètres UV et BD. De plus, d’après les propriétés du cercle, les cordes PB et PD ainsi que OU et OV sont perpendiculaires entre elles. Par ailleurs :
- IP ⊥ IU et IB ⊥ IO ⇒ les triangles IPB et IUO sont identiques et PB ⊥ UO
- PB ⊥ UO et PB ⊥ PD ⇒ UO ∥ PD
- PB ⊥ UO et VO ⊥ UO ⇒ VO ∥ PB
- UO ∥ PD, VO ∥ PB et U’V’ et BD sont sur la même droite ⇒ les triangles U’OV’ et DPB sont similaires et plus exactement homothétiques. Le centre d’homothétie est Y, soit la projection stéréographique de P, et le rapport d’homothétie est IO/HP. Un calcul trigonométrique montrera que IO/HP = 1/(sin Az.cos ϕ), Az étant l’azimut du Soleil et ϕ la latitude.
Les triangles U’OV’ et DPB permettent de définir entièrement la partie droite de la figure, ainsi on retrouve sur cette dernière la même homothétie entre les figures obtenues par projection stéréographique et la technique de l’analemme, ce qui confirme qu’elles sont parfaitement équivalentes.
Avec le recul, et sans vouloir en rien atténuer le grand génie de Lambert, il s’avère qu’il n’a pas utilisé la technique la plus simple et la plus régulière pour imaginer son cadran. Celui-ci se retrouve plus naturellement avec la projection orthographique de l’analemme. Il faut toutefois reconnaître que les cercles sur lesquels il s’est appuyé pour sa construction sont plus généralement utilisés que les cordes propres à l’analemme.
À plus tard pour la description du second instrument.
