Précision du cercle excentré

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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Précision du cercle excentré

Message : # 794Message Yvon_M »

J’ai eu l’occasion de me pencher récemment sur la figure qui utilise un cercle excentré pour passer du calendrier ordinaire au calendrier zodiacal (elle se trouve fréquemment sur la face arrière des astrolabes). Je me suis demandé quelle précision pouvait fournir ce principe simple et astucieux imaginé dès l’Antiquité. C’est le résultat de cette petite évaluation que je vous propose ici.

Pour avoir une idée plus précise de la problématique on peut consulter le document :
http://assprouen.free.fr/dossiers/volve ... lv-Cal.pdf
dont j’ai extrait, pour illustration, la figure suivante de Pierre Causeret. Elle a l'avantage d’être conçue pour notre époque moderne.

Image

Les jours du calendrier ordinaire sont répartis uniformément sur le cercle excentré qui est ici central, mais qui pourrait aussi, en principe, être externe. Son centre est représenté par une croix. Chaque jour correspond à un angle constant de 360/365° (il n’y a pas de 29 février).

Les signes du zodiaque sont sur le cercle extérieur dont le centre est représenté par un petit rond. Il sont aussi répartis uniformément : chaque signe occupe 30° et chaque degré d’un signe fait, comme son nom l’indique, un angle de 1°, exactement.

Pour passer d’un calendrier à l’autre, il suffit de tirer un rayon à partir du petit rond (ou tirer un fil fixé sur ce repère) et passant par la date choisie d’un calendrier pour lire la date correspondante sur l’autre calendrier, là où passe le rayon.

Du point de vue de la mécanique céleste, ce graphique permet de résoudre le problème de Kepler pour l’orbite elliptique de la Terre qui est caractérisée par l’excentricité e = 0,0167. En principe, ce que nous confirmerons, le rapport entre la distance d séparant le centre des deux cercles et le rayon R du cercle excentré est d/R = 2.e

On comprendra aussi facilement que le diamètre commun aux deux cercles, qui passe par la croix et le petit cercle, passe aussi :
  • du côté de la croix par la date de l’aphélie, vers le 5 juillet, quand la Terre évolue le plus lentement autour du Soleil
  • à l’opposé, du côté du petit cercle, par le date du périhélie quand la vitesse de la Terre autour du Soleil est maximale, vers le 4 janvier
En mécanique céleste le périhélie, ou périastre dans le cas général, est pris pour origine de la mesure angulaire appelée anomalie. Celle-ci reçoit plusieurs qualificatifs en fonction de l’étape de calcul dans la résolution du problème de Kepler qui consiste à trouver la position de l’astre sur son orbite elliptique en fonction du temps :
  • anomalie moyenne M pour initier les calculs, elle est proportionnelle au temps et augmente donc de 360° en une période de révolution. Dans notre cas c’est l’angle, vu de la croix, entre une date du calendrier ordinaire et le 4 janvier.
  • anomalie excentrique E qui est un angle intermédiaire mais que nous n’utiliserons pas ici
  • anomalie vraie v qui est l’angle cherché
Pour des excentricités faibles, ce qui est le cas de la Terre, on peut calculer v avec une précision suffisante pour notre évaluation (de l’ordre de la seconde de d’arc) avec un développement en série trigonométrique limité au second degré (les angles doivent être exprimés en radian) :
v \(=M+2\cdot e\cdot \sin (M)+\frac{5}{4}\cdot e^2\cdot\sin (2\cdot M)\)
Nous la comparerons à l’angle du calendrier ordinaire vue du petit rond, c’est-à-dire :
v’ \(=\arctan(\frac{R\cdot\sin (M)}{R\cdot\cos (M)-d})=\arctan(\frac{\sin (M)}{\cos (M)-d/R})\) à 180° près

On pourrait mathématiquement effectuer le développement de v’ pour établir la différence avec v mais, comme le but est d’obtenir l’ordre de grandeur de l’erreur, nous utiliserons plus simplement les résultats d’un tableur. La figure des deux cercles étant symétrique par rapport à leur diamètre commun, il suffit de faire une comparaison pour M variant de 0 à 180°. Enfin, un calcul tous les 5° donnera un tableau de 36 lignes, nombre suffisant pour évaluer l’évolution de l’erreur et sa valeur maximale.

Voici les résultats obtenus :

Image

On peut constater, dans la colonne \(\Delta\) = v’v, que l’erreur maximale est de l’ordre du centième de degré, soit inférieur à la minute d’arc. C’est plus que suffisant dans le cadre d’une utilisation graphique qui, par ailleurs, ne permet pas de se positionner précisément sur le calendrier ordinaire à cause du décalage progressif dans le cycle de 4 ans des années bissextiles.

La dernière colonne correspond au carré des différences \(\Delta\) multiplié par la constante arbitraire 1000 afin que la valeur obtenue soit plus facile à lire. La somme de ces valeurs est indiquée à gauche et elle permet de vérifier que le rapport d/R est optimum. On peut, en effet, faire varier celui-ci de façon à obtenir une somme minimale, ce qui est un critère de la bonne approximation de l’anomalie vraie. La valeur obtenue est d/R = 0,0033393, légèrement plus faible du double de l’excentricité e mais on peut constater que les valeurs \(\Delta\) sont pratiquement inchangées.

Image

En conclusion, on peut confirmer que l’erreur de principe de ce graphique à cercle excentré de d/R = 0,0334 est négligeable en regard des erreurs inhérentes à son utilisation et justifie pleinement sa raison d’être.

Le fichier tableur utilisé peut être téléchargé en cliquant sur ce lien.
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RogerTorrenti
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Re: Précision du cercle excentré

Message : # 795Message RogerTorrenti »

Question intéressante et solution précise
Merci pour le partage !
Eric_M
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Re: Précision du cercle excentré

Message : # 796Message Eric_M »

Merci Yvon,
C'est très intéressant, j'étais justement en train de regarder l'aspect historique de l'apparition de ces calendriers excentriques sur les astrolabes (je suis en train d'essayer de préparer quelque chose sur les astrolabes pour la prochaine réunion de la CCS à Toulouse, inch allah)

Le plus ancien calendrier excentrique que j'ai repéré correspond à celui observable sur un astrolabe de Ibrâhím b. Sa'ïd as-Sahlï al-Asturlâbí, (daté de 1067 ; conservé au musée archéologique de Madrid).
Il faut noter que ce système particulièrement élégant et pratique pour se repérer sur le calendrier de l'écliptique de l'araignée (zodiaque), ne semble par avoir été adopté tout de suite par l'ensemble des astrolabistes. Par exemple abu Bakr (début du XIIIème siècle, rendu célèbre par le livre de Hollander sur l'astrolabe du Musée P. Dupuy de Toulouse) a curieusement préféré diviser le calendrier civil en secteurs angulaires inégaux variant de 1,04° à l’aphélie, à 1,11° au périhélie... il n'est pas le seul. Bizarre !
Il serait peut-être intéressant de pister cette invention dans les traités de l'astrolabe en arabe ...
En tout cas en Europe, les deux options (calendriers excentriques ou non) étaient parfaitement décrits dans le traité de Stoeffler: Elucidatio fabricae ususque astrolabii, fol. XXIV et XXV de l'édition de 1513 ... mais qu'en était 'il dans les manuscrits antérieurs ?
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Yvon_M
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Re: Précision du cercle excentré

Message : # 797Message Yvon_M »

Heu !... Je me suis peut-être trop avancé dans mon introduction concernant l'Antiquité et les astrolabes.

Je m'étais référé à l'ouvrage de D'Hollander, L'Astrolabe - Histoire, théorie et pratique, où il cite Hipparque pour le principe du cercle excentré mais, en fait, cela ne veut pas dire que la figure complète a été produite de son temps.

Concernant sa présence au dos des astrolabes, D'Hollander ne cite effectivement que l'astrolabe-quadrant du musée des antiquités de Rouen. Pourquoi ai-je prétendu qu'elle était fréquente ???

Merci Éric pour avoir replacé le contexte avec des éléments historiques plus étayés.
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Eric_M
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Re: Précision du cercle excentré

Message : # 798Message Eric_M »

Loin de moi l'idée de remettre en cause une origine antique du procédé... je ne sais pas s'il en existe des traces, mais l'hypothèse est très crédible: la théorie Solaire de l'Almageste conduit très naturellement à cette solution.

Ce que je voulais souligner c'est que cette solution n'était pas , semble t'il, sur les astrolabes grecs (en tout cas, selon le traité de Philippon qui présente une autre méthode pour déterminer la longitude écliptique du Soleil), ni sur les premiers astrolabes arabes qui nous sont parvenus , et qu'il a fallut attendre le milieu du XIème siècle (?? si je n'ai rien raté ???) pour le voir apparaitre sur les instruments. Plus remarquable : l'adoption du procédé a été curieusement assez long !.
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