Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

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Yvon_M
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Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #645 Yvon_M
mar. 13 juil. 2021 21:05

Dans cette contribution que je décomposerai en deux parties, je vous propose de réaliser un quadrant de hauteur donnant l’heure solaire. Il est relativement simple à construire car il n’y a que des lignes droites à tracer, elles dépendent de la latitude d’utilisation. Ce quadrant résulte bien sûr d’une approximation mais la précision que l’on peut en attendre est parfaitement acceptable. Nous aborderons cet aspect dans cette première partie où je ferai aussi une petite revue bibliographique, nous passerons à la réalisation pratique dans la seconde partie.

Sur la figure suivante on peut voir comment se présente le quadrant, il se compose d’une table en quart de disque (d’où l’orthographe un peu particulière de son nom) surmontée de deux pinnules et disposant d’un fil lesté suspendu au centre O.

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Une perle coulissante sur le fil doit être réglée à la date d’utilisation. Un calendrier est gradué sur le quadrant pour cet usage, il est replié trois fois sur lui-même avec un pli par saison : les équinoxes sont au plus près du centre O et les solstices au plus loin. Sur la figure la perle a été réglée à l’entrée des Gémeaux, soit le 21 mai. Le quadrant est ensuite présenté au Soleil en alignant les pinnules dans sa direction et en maintenant le plan du quadrant vertical. La perle indique alors l’heure qu’il faut lire entre :
  • les lignes oranges du début du printemps à la fin de l’été,
  • les lignes vertes du début de l’automne à la fin de l’hiver.
Dans le cas de la figure le Soleil est redescendu à une hauteur de 29°, il est donc environ 16 h 30 en heures solaires.

L’approximation du tracé rectiligne des lignes horaires est directement reliée à celle faite pour l’anneau à trous fixes présenté sur ce forum. Comme pour l’anneau, l’approximation est d’autant meilleure que la latitude est élevée. Les graphiques suivants où sont tracés pour chaque heure, en rouge, les véritables courbes horaires et, en bleu, les droites approximatives donnent une bonne idée de la précision que l’on pourra en attendre. Il est assez remarquable de constater que la superposition de la courbe et de la droite est presque parfaite pour l’automne et l’hiver, même dans le cas de faibles latitudes.

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On trouve les premières descriptions imprimées de ce quadrant dans l’ouvrage de Stöffler paru en 1513, Elucidatio fabricae ususque astrolabii (1). Bien que cet ouvrage ait eu de nombreuses rééditions et une traduction en français (2), le quadrant ne semble pas avoir eu un grand succès et seuls quelques rares exemplaires sont conservés dans les musées.

La bibliothèque d’état de Bavière, à Munich, conserve un recueil de planches attribuées au graveur G. Hartmann (3) parmi lesquelles on trouve deux représentations de ce quadrant – merci Eric_M pour cette référence –. La première semble datée de 1519 (il faut chercher les chiffres autour de la fleur de l’autre quadrant de la gravure) et la seconde est de 1561 (là encore la date n’est pas mise en évidence, il faut la chercher dans le coin du quadrant, tout en bas de la gravure). Le système de graduation des lignes horaires d’Hartmann est plus simple que celui proposé par Stöffler, il est situé presque entièrement près du quart de cercle des équinoxes, ce que Stöffler avait appelé le limbe mineur.

Dans Protomathesis paru en 1532 (4), O. Fine fait une description de ce quadrant avec un réglage de la perle différent. À l’image du quadrant ancien décrit sur ce forum, le calendrier est disposé le sur bord circulaire. Il n’y a dans ce cas qu’un seul repliement mais la position même du calendrier dépend directement de la latitude. Quand le fil est tendu sur la date d’utilisation, la perle doit se régler sur ligne horaire de midi.

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Dans son Cours de mathématiques de 1693 (5), en annonçant « On peut encore représenter les heures par des lignes droites, sans que l’erreur puisse être aussi beaucoup considérable […] », Ozanam décrit les étapes nécessaires pour tracer ce quadrant et il reportera l’année suivante un texte similaire dans ses Récréations mathématiques (6). C’est à l’un de ces deux ouvrages très pédagogiques que je vous renvoie pour toutes les précisions nécessaires concernant la géométrie de ce quadrant.

Plus récemment M. Sauzay, sur son blog Astro-Alps, a proposé une description de différents quadrants de hauteur indiquant les heures solaires (7) et il termine par celui qui est présenté ici en soulignant son ingéniosité.

Enfin dans Cadran-Info, le bulletin de la commission des cadrans solaires, une étude très détaillée de ce quadrant a été publiée par D. Savoie (8) – que je remercie ici d’avoir accepté de la partager –. À ma connaissance, c’est la seule publication qui aborde les relations algébriques permettant de quantifier l’erreur de mesure introduite par le principe du cadran.

À bientôt pour le passage à la pratique.

Bibliographie :
1 ^ - J. Stöffler : Elucidatio fabricae ususque astrolabii, fol. LXVIr. Oppenheim, 1513
2 ^ - J.-P. de Mesmes : Traité de la composition et fabrique de l’astrolabe, p. 184. Paris, 1560
3 ^ - G. Hartmann : Recueil de planches, fol. 3r, fol. 39v
4 ^ - O. Fine : Protomathesis. De solaribus horologiis et quadrantibus, fol. 190r. Paris, 1532.
5 ^ - J. Ozanam : Cours de mathématiques, tome V, p. 141. Paris, 1693
6 ^ - J. Ozanam : Récréations mathématiques, tome I, p. 281. Paris, 1694.
7 ^ - M. Sauzay : Astro-Alps. Les quadrants d’heures classiques (i.e. égales). 2014.
8 ^ - D. Savoie : Cadran-Info n° 41. Cadran solaire portable à double limbe. 2020.
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Stéphane_L
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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #646 Stéphane_L
jeu. 15 juil. 2021 14:06

Merci Yvon pour cet article qui m'a fait découvrir ce cadran de hauteur.
J'ai une question suite à la lecture de l'article de Denis Savoie :
Denis Savoie donne la formule ci-dessous du calcul de Rδ pour construire l'échelle zodiacale des dates.

formule pour le rayon.png
formule pour le rayon.png (14.17 Kio) Vu 1955 fois

Ensuite il propose une application numérique.

Application.png
Application.png (71.85 Kio) Vu 1955 fois

Pour δ = 11°,469, on il obtient R0 (= Rδ) = 12,966 cm.
En faisant le calcul avec la formule de l'article j'ai obtenu Rδ = 6,48 cm.

Application 1.png
Application 1.png (60.17 Kio) Vu 1955 fois

Y a t-il une erreur dans la formule ou ai-je fait une confusion entre R0 et Rδ ? Quelqu'un peut-il m'éclairer ?

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Yvon_M
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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #647 Yvon_M
jeu. 15 juil. 2021 19:42

Vous n’avez pas perdu de temps, Stéphane, et je suppose que vous êtes déjà en train de préparer un programme GeoGebra pour ce cadran, n’est-ce pas ?

Effectivement, je pense qu’il faut lire Rδ au lieu de Ro. Par ailleurs, il y a bien une coquille dans la formule : le sinus du numérateur n’est pas de δ mais doit être de ε.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique

Stéphane_L
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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #648 Stéphane_L
jeu. 15 juil. 2021 22:32

En fait, j'avais fait la figure avec GeoGebra pour m'aider à retrouver la formule de l'article.
Du coup j'avais obtenu la première formule avec des sin(tan-1(...))(voir figure de mon dernier message) et comme il y avait un problème je m'étais arrêté là. Après votre rectification, en simplifiant par sin(tan-1(...) et en utilisant deux formules de trigo, j'ai pu obtenir la bonne formule. Merci :)

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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #651 Yvon_M
ven. 23 juil. 2021 23:31

Voici donc le moment de mettre en pratique cette belle idée et vous verrez que le nécessaire a été fait pour que tout soit simplifié.

Il faut tout d’abord télécharger ce fichier PDF qui permettra d’imprimer une base commune à tous les quadrants, quelle que soit la latitude d’utilisation.

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Elle est constituée :
  • d’une délimitation du quart de disque. Le fil lesté devra être suspendu au centre O, à l’intersection des deux rayons à angle droit.
  • sur le bord circulaire, d’une graduation de 0 à 90° qui permettra de déterminer la hauteur d’observation par le fil lesté. Nous l’utiliserons aussi pour le tracé des lignes horaires.
  • de deux quarts de cercle correspondant aux solstices et aux équinoxes. Un troisième quart de cercle, le plus petit, a été rajouté dans le but esthétique et pratique de délimiter la numérotation des lignes horaires.
  • d’un calendrier entre les deux quarts de cercle. Deux bases différentes sont proposées comportant chacune un calendrier différent :
    • un calendrier zodiacal à l’image des quadrants réalisés à la Renaissance. Les graduations sont plus simples mais l’utilisation du quadrant est plus complexe : il faut connaître le signe et le degré du Soleil.
    • un calendrier moderne (grégorien) avec, inversement, des graduations plus complexes mais d’utilisation plus simple.
La base choisie doit être imprimée sur une feuille de papier A4. À l’échelle 100 % le rayon du quadrant fait environ 16 cm. On peut bien sûr choisir une échelle différente suivant ses besoins. Après impression, vérifier que les deux rayons à angle droit soient de longueur identique pour s’assurer que les proportions sont conservées.

L’étape suivante consiste à tracer les lignes horaires en fonction de la latitude d’utilisation. Pour cela nous allons utiliser une page de calcul qui nous donnera une table des hauteurs du Soleil.

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Elle permettra aussi, par la suite, de faire la conversion des heures solaires mesurées en heures légales. Accessoirement enfin, elle fera la correspondance entre le calendrier grégorien et le calendrier zodiacal si la base choisie utilise ce dernier.

Sur la page de calcul, pour renseigner la table des hauteurs, il suffit de sélectionner le calendrier choisi puis de saisir la latitude d’utilisation dans le champ correspondant et enfin de cliquer sur le bouton ‘Calculer la table…’. La latitude peut être indiquée de deux manières, soit sous forme fractionnaire dans le premier champ en mettant à 0 le second, soit sous forme sexagésimale en renseignant séparément les degrés et les minutes dans les champs correspondants.

Pour chaque heure solaire H en partant de midi, c’est-à-dire en exploitant la table ligne par ligne, prendre la hauteur du Soleil au solstice d’été et repérer la graduation correspondante hSeH sur le pourtour de la base imprimée. Repérer ensuite l’intersection SeH entre le rayon passant par cette graduation et le quart de cercle des solstices avec une règle placée entre hSeH et le centre O. Répéter cette opération avec la hauteur du Soleil à l’équinoxe qui donnera la graduation hEH et l’intersection EH sur le quart de cercle des équinoxes. Enfin, avec la hauteur du Soleil au solstice d’hiver on obtiendra par le même principe hShH et ShH sur le quart de cercle des solstices. En reliant ensuite les trois points SeH, EH et ShH par deux segments de droite, éventuellement de couleur différente pour distinguer les périodes d’utilisation, on obtient une ligne brisée en forme de V qui constitue la ligne horaire H.

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Cela reste vrai pour toutes les premières heures de la table mais en progressant on arrive à des heures où le Soleil est couché pendant une partie de l’année. On rencontre successivement trois cas de figure :
  • pour certaines heures après 6 h du matin / avant 18 h du soir, le Soleil est couché en fin d’automne / début d’hiver. Dans ce cas le V de la ligne horaire comporte un côté tronqué.
  • pour 6 h du matin / 18 h du soir, heure où le Soleil se lève / se couche aux équinoxes. Pendant tout l’automne et l’hiver il est sous l’horizon à cette même heure, aussi la ligne horaire de 6 h / 18 h ne comporte qu’un seul côté entier du V.
  • pour les heures avant 6 h du matin / après 18 h du soir, le Soleil n’est levé que sur la fin du printemps et le début de l’été. Du V, il ne reste qu’un seul côté tronqué.
Dans tous les cas, le côté tronqué se termine sur le bord du quadrant correspondant à la hauteur nulle, à une certaine date. Elle correspond au jour où le Soleil se lève et se couche précisément à l’heure de la ligne horaire. Cette date est donnée par la table, dans la colonne Ligne tronquée, et il suffit de reporter la position de sa graduation sur l’autre bord du quadrant et obtenir ainsi un second point pour tracer le côté tronqué du V.

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Quand les lignes horaires sont entièrement tirées, inscrire leur numérotation entre les deux petits quarts de cercle. Le tracé est maintenant terminé, vous pouvez l’agrémenter à votre goût. Il faut ensuite le coller sur un support rigide et bien plan. Un morceau de MDF, ou médium, de 3 mm d’épaisseur est idéal mais vous pouvez utiliser ce que vous avez sous la main : carton, contre-plaqué, etc. Prévoir une surface légèrement supérieure à la délimitation de la base pour recevoir la fixation du fil et les pinnules.

Le collage se fera de préférence en utilisant une colle non mouillante pour ne pas détendre le papier car, généralement, il ne se détend pas de la même façon en hauteur et en largeur. Faire un essai préalable avec un papier similaire. J’ai personnellement utilisé une colle en aérosol pour textile.

La découpe du papier et du support se fera au choix avant ou après le collage. Dans tous les cas conserver l’intégrité du rayon côté calendrier, il sera utilisé pour vérifier le système de visée par pinnules qui doit lui être parallèle.

Les pinnules peuvent être confectionnées en découpant deux petits rectangles dans la matière du support. Un trou sera pratiqué dans la pinnule la plus proche du centre O, sur la seconde on collera une petite mire en papier. Une fente permettra de les insérer sur le support et une goutte de colle blanche, ou colle à bois, les fixera définitivement.

Image

Pour la fixation du fil, on peut utiliser un clou qui sera coupé à bonne longueur. Un trou dans le support d’un diamètre légèrement inférieur permettra de glisser le clou en force, une petite perle assurera un léger déport de la fixation du fil. Il ne reste plus qu’à mettre celui-ci en place avec sa perle et son lest. Quand le fil est tendu, le lest doit dépasser du quadrant de 1 à 2 cm.

Image

Après avoir réglé la perle coulissante, voici enfin le moment tant attendu de présenter le quadrant au Soleil. Pour le réglage de la perle et la conversion de l’heure lue en heure légale, n’oublions pas qu’il est possible d’utiliser la page de calcul.

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Pour les amoureux des relations mathématiques qui auraient trouvé la réalisation de ce quadrant un peu trop simple, je leur ai réservé une petite difficulté à la hauteur de leur attente.

Il s’avère que le choix du rapport entre le rayon du cercle des équinoxes Re et celui des solstices Rs est arbitraire. J’ai précisément retenu la valeur de Re/Rs = cos(ε) – sin(ε), ε étant l’obliquité l’écliptique, ce qui donne Re/Rs = 0,52. Ce rapport donne une particularité au quadrant, sauriez-vous dire laquelle ?
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Stéphane_L
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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #652 Stéphane_L
ven. 30 juil. 2021 15:23

Merci pour ce nouvel exposé très limpide.

En réponse à la question voici une particularité que j'ai remarqué :
La ligne de midi de l’équinoxe de printemps à l’équinoxe d’automne [BC] est perpendiculaire à la ligne de midi de l’équinoxe d’automne à l’équinoxe du printemps [BD] (l'angle DBC = 90°).



figure.png
figure.png (50.92 Kio) Vu 1232 fois


Le triangle ADC est isocèle en A
(AB) est la bissectrice de l’angle DAC donc (AH) perpendiculaire à (CD)
B ∈(AB) donc AB = BC alors (BH) est la bissectrice de DBC

Avec Ré = Rs (cos(ε) – sin(ε))

Calcul de DBC:
AH = Rs cos(ε)
BH = AH – AB = Rs cos(ε) - Rs (cos(ε) – sin(ε)) = Rs sin(ε)
HC = Rs sin(ε)
donc
tan(HBC) = HC/HB = 1
alors HBC = 45° et DBC = 90°

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Re: Réalisation d’un quadrant à lignes horaires rectilignes

Message : #653 Yvon_M
sam. 31 juil. 2021 09:52

Bravo Stéphane ! C’est bien la propriété particulière que j’ai voulu donner au quadrant. Elle reste vraie pour toutes les latitudes.

De plus, votre démonstration est particulièrement élégante : la mise en place du point H simplifie beaucoup la démarche. Dois-je l’avouer ? De mon côté j’avais utilisé les relations des triangles quelconques sur le triangle ABC pour obtenir l’angle de 180 - 45 = 135° en B… et j’ai dû résoudre une équation du second degré !

Bonnes vacances à tous et prenez bien garde à ce damné virus qui a repris du poil de la bête.
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