R: En gnomonique on peut raisonner de façon géocentrique. Imaginons que la terre soit ponctuelle et située au centre d'une sphère de rayon unité sur laquelle se situe le soleil. Pour définir la position du soleil utilisons un système d'axes rectangulaires classique (O, x, y, z) lié à la terre et placé dans un premier temps à son pôle nord avec:
x' = x.cos a + y.sin a
y' = -x.sin a + y.cos a
z' = z
On a effectué une rotation du système d'axe ou repère autour de l'axe z.
Si on se déplace du pôle nord à une latitude la en maintenant l'axe z perpendiculairement à la surface terrestre on effectuera une rotation autour de l'axe y de l'angle 90 - la.
Et ainsi de suite...
Mathématiquement il est plus facile d'utiliser une notation matricielle. Par exemple la rotation de la terre s'écrit dans ce cas:
/x'\ / cos a sin a 0\ /x\ |y'| = |-sin a cos a 0| * |y| \z'/ \ 0 0 1/ \z/
R: L'édition de ce livre est épuisée et je pense qu'il n'y en a pas eu de nouvelle (pour s'en assurer vous pouvez téléphoner à l'éditeur: Oberlin à Strasbourg).
J'ai eu du mal à acquérir ce livre en 90 aussi je crois que vous avez très peu de chance de le trouver s'il n'a pas été réédité. Vous pouvez demander à plusieurs grandes librairies si, par hasard, il ne leur en reste pas un exemplaire en stock. Vous pouvez tenter aussi du coté des livres d'occasion sur Internet, il me semble que certains sites proposent des reproductions.
Par contre vous aurez peut-être plus de facilité à le trouver dans une bibliothèque pour emprunt ou consultation.
Enfin si vous êtes anglophone, vous pourrez certainement vous procurer la version anglaise qui a été rééditée récemment.
R: Les arcs diurnes sont des coniques si on considère que la déclinaison du soleil est constante pendant la journée et si on ne tient pas compte de la réfraction atmosphérique. Pour les latitudes de la France et pour un cadran horizontal ce sont des hyperboles. On peut obtenir facilement leurs équations en utilisant le repère:
GM scalaire GN = Racine(g.g + x.x + y.y).cos (90 + d) = -x.cos L - g.sin L
En élevant au carré on retrouve l'équation du second degré des coniques.
R: Il est bien sûr possible de tenir compte de l'équation du temps sur un cadran horizontal comme sur tout cadran à surface quelconque où on utilise la position de l'ombre d'un point.
Il est certainement possible d'obtenir les équations des courbes en 8 mais je pense qu'elles seraient très compliquées. Le plus simple est de tracer ces courbes point par point. Pour cela vous pouvez utiliser le petit programme d'éphéméride que je propose sur mon site avec i = 0 et d = 0 (plan horizontal). Il suffit de le faire boucler pour différentes dates avec une même heure, les résultats seront donnés dans le repère:
R: La réfraction est, en effet, souvent négligée car il est vrai que l'erreur introduite est faible. Sous les latitudes de la France, lorsque le soleil est sur l'horizon, l'erreur est d'environ 1 m 35 s. Quand le soleil est à 10° au dessus de l'horizon l'erreur descend à environ 15 s. Bien sûr, plus le soleil est haut dans le ciel et plus l'erreur est faible.
Il est cependant possible d'introduire la réfraction dans le tracé du cadran. Sa valeur, exprimée en minute d'arc, en fonction de la hauteur observée du soleil h, exprimée en degré, peut s'obtenir par la relation approchée suivante:
R = 1/tg (h + 7,31/(h + 4,41))
Cette valeur est à soustraire de la hauteur observée pour obtenir la hauteur réelle du soleil.
R: Le soleil éclaire la face nord d'un cadran équatorial au printemps et en été, la face sud en automne et en hiver. L'ombre d'un point P sur la face éclairée du cadran décrit pendant la journée, en première approximation, la plus belle des figures: le cercle. Soit P' la projection orthogonale de P sur le cadran, le cercle a pour centre P' et son rayon est égal à:
r = Abs(PP'/tg d)
avec d déclinaison du soleil. Vous pouvez calculer la valeur de d avec le petit programme d'éphéméride que je présente sur mon site.
Ce programme permet aussi de calculer la position de l'ombre sur le cadran équatorial, avec l'origine du repère en P', en prenant les paramètres suivants:
R: Si votre cadran n'a pas été tracé pour votre façade, il ne pourra pas indiquer l'heure solaire exacte. Cependant si vous orientez correctement le style il indiquera toujours la même heure pour une heure solaire donnée (en mesure, on dira qu'il est faux mais fidèle) et il donnera correctement l'heure de midi solaire, c'est à dire quand le soleil est au plein sud.
Voici une méthode qui utilise cette dernière propriété:
Votre cadran étant installé, vérifiez que votre ligne de midi soit bien verticale, au fil à plomb par exemple.
A midi solaire, c'est à dire pour le mois de juin et à Paris aux heures suivantes:
le 1 13 h 48 m du 2 au 6 13 h 49 m du 7 au 11 13 h 50 m du 12 au 16 13 h 51 m du 17 au 21 13 h 52 m du 22 au 25 13 h 53 m du 26 au 30 13 h 54 morientez le style pour que son ombre soit sur la ligne de midi.
Pour les autres jours de l'année vous pouvez utiliser le petit programme présenté à la page Calcul de l'heure de passage au méridien du soleil pour obtenir l'heure légale à midi solaire.
R: A chaque étape de calcul, qui correspond à un changement de repère par rotation, la position du soleil est donnée par les 3 variables x, y et z du programme.
Voici quelques indications sur les constantes utilisées:
R: Voici un exemple de données d'entrée avec les résultats intermédiaires et finaux:
Fuseau horaire fh= 2
Hauteur du gnomon g= 106
Longitude (Est) lo= -6.983
Latitude (Nord) la= 43.683
Jour jo= 30
Mois mo= 7
Année an= 1998
Heure légale hh= 12
mn= 39
Coordonnée verticale xp= 208
Coordonnée horizontale yp= -32
Nombre de jours
j= 151.4438
Longitude vraie du soleil
s= -10.34826
Coordonnées locales du soleil
x, y, z= .4035525 .2434423 .8819758
Coordonnées locales corrigées de la réfraction
x, y, z= .4034356 .2433718 .8820487
Coordonnées du soleil dans le repère du cadran
xp, yp, zp= -.88272 .1358031 .4498477
Résultats
i1= 90.08537 d1=-14.34826
i2= 35.90644 d2= 132.1474
Un seul couple de résultat (i1, d1) ou (i2, d2) est bon. Si on obtient une inclinaison négative, le couple correspondant est toujours incorrect.
R: On peut considérer le changement d'heure d'hiver en été comme une variation de l'équation du temps de 1 h, il faut donc faire tourner le style de 15°. Comme la graduation de la ligne horaire est en tg(h/2), le pied du style se déplace donc de 2 graduations horaires.
La figure 6 a été élaborée à l'aide de deux tracés, avec les valeurs suivantes:
Dans ce cas les graduations de la ligne horaire des deux tracés se superposent rigoureusement ainsi que le point origine O.
R: Pour qu'un cadran soit juste pendant toute l'année, il faut prendre en compte toutes les positions du soleil au cours des saisons, ce qui impose certaines conditions concernant la position du style.
Il est midi vrai (ou midi solaire) quand le soleil, quelque soit sa hauteur due aux saisons, est plein sud (plein nord pour l'hémisphère sud), c'est à dire qu'il est contenu dans le plan vertical contenant l'axe polaire. On appelle plan méridien ce plan vertical. Pour que l'ombre du style indique toujours midi quelque soit la saison, il faut qu'il soit contenu dans le plan méridien.
Après quelques moments, disons 1 heure, la nouvelle position du soleil est due à la rotation de la terre sur son axe. Le soleil est donc contenu dans un plan passant par l'axe polaire et faisant un angle de 15° avec le plan méridien. Pour que le style indique toujours 1 heure quelque soit la saison, il faut qu'il soit aussi contenu dans le plan du soleil.
Ces deux conditions imposent donc au style qu'il soit à l'intersection de ce plan et du plan méridien, c'est à dire parallèle à l'axe polaire.
C'est une idée intéressante... et la solution est simple!
Soient Az l'azimut du soleil, H sa hauteur, G la grandeur du gnomon et L la longueur de l'ombre. Vous pouvez calculer la déclinaison D du mur par la formule:
G/Rac (G² + L²)
D = Az ± Arccos (-----------------)
cos H
Il faut ensuite choisir la bonne valeur...
Plus généralement si le mur n'est pas vertical mais a une inclinaison I, il faut utiliser la relation:
G/Rac (G² + L²) - sin H.cos I
D = Az ± Arccos (-------------------------------)
cos H.sin I
Cette dernière formule est expliquée et mise en oeuvre dans un petit programme proposé à la page Mesure de la déclinaison d'un plan par la longueur de l'ombre d'un gnomon.
R: Je peux vous calculer sans problème l'azimut que vous me demandez, mais j'ai besoin des coordonnées géographiques du lieu de l'observation...
Pour le calculer on peut utiliser le programme présenté à la page Mesure de la déclinaison d'un plan par la longueur de l'ombre d'un gnomon qui contient une éphéméride assez précise (précision de l'ordre de la minute d'angle). En prenant la longitude -2,01 (2,01° Est) et la latitude 48,8 j'ai obtenu 7,03°, valeur comptée dans le sens horaire à partir du sud. En partant du nord dans le sens trigonométrique on obtient 172,97°.
Date de création: 21 Juin 99
Date de dernière mise à jour: 21 Février 2000