Cadrans de type analemmatique à projection centrale


Construction par le calcul

Afin de pouvoir réaliser ce type de cadran par le calcul, établissons les relations donnant la position des points principaux pour tous cadrans horizontaux. Nous utiliserons le système de coordonnées suivant (Fig. 3):
Fig. 3

Dans un tel système et si l'on prend un centre de projection O de coordonnées xO, yO et zO, la projection d'un point quelconque de coordonnées x, y et z donnera un point appartenant au plan Mxy et dont les coordonnées x', y' et z' = 0 répondent à la double égalité:

 x' - xO     y' - yO     0 - z
--------- = --------- = --------
 x - xO      y - yO      z - zO

           - zO.(x - xO)          xO.z - x.zO
soit x' = --------------- + xO = -------------
               z - zO                z - zO

         - zO.(y - yO)          yO.z - y.zO
et y' = --------------- + yO = -------------
            z - zO                z - zO
Définissons maintenant les coordonnées des points horaires du cercle équatorial et des points efficaces. Supposons dans un premier temps que l'on soit situé au pôle nord, l'équateur est alors confondu avec le plan Mxy et l'axe du monde avec l'axe des z. Les coordonnées des points d'ombre du cercle en fonction de l'angle horaire h du soleil sont données par les relations:
xP = - r.cos h

yP = r.sin h

avec: zP = 0
et celles des points efficaces en fonction de la déclinaison d du soleil par:
zP = r.tg d

avec: xP = 0 et yP = 0
Déplaçons nous à présent à la latitude L du cadran. Le plan de l'équateur tourne alors autour de l'axe des y de l'angle 90 - L. La valeur de la coordonnée y n'est donc pas modifiée tandis que les coordonnées x et z du cercle deviennent:
x = xP.cos (90 - L) = - r.cos h.sin L

z = xP.sin (90 - L) = - r.cos h.cos L

avec: y = yP = r.sin h
En ce qui concerne les coordonnées des points efficaces, elles s'écrivent alors:
x = - zP.sin (90 - L) = - r.tg d.cos L

z = zP.cos (90 - L) = r.tg d.sin L

avec: y = 0
Nous avons maintenant tous les éléments nécéssaires à l'élaboration des formules définissant le tracé du cadran. En remplaçant les coordonnées des points d'ombre du cercle dans les relations de projection on obtient la position des points horaires donnée par:
                xo.cos L - zo.sin L
x(h) = r.cos h.---------------------
                 r.cos h.cos L + zo

          yo.cos h.cos L + zo.sin h
y(h) = r.---------------------------
             r.cos h.cos L + zo
De la même façon la position des pieds du style est obtenue en utilisant les coordonnées des points efficaces, soit:
               xo.sin L + zo.cos L
x(d) = r.tg d.---------------------
                r.tg d.sin L - zo

                   yo.sin L
y(d) = r.tg d.-------------------
               r.tg d.sin L - zo
L'échelle des dates est une droite qui passe par l'origine. Le point origine correspond à la déclinaison nulle du soleil.

Sans entrer dans le détail des démonstrations présentons maintenant quelques formules complémentaires.
La courbe reliant les points horaires est une conique, son équation peut se mettre sous la forme:

a.x² + b.y² + 2.c.x.y + d.x + e.y + 1 = 0

             zO² + cos² L.yO² - r².cos² L
avec: a = - ------------------------------
              r².(cos L.xO - sin L.zO)²

       1
b = - ----
       r²

            cos L.yO
c = ---------------------------
     r².(cos L.xO - sin L.zO)

            2.cos L
d = - ---------------------
       cos L.xO - sin L.zO

et e = 0
Quelles que soient les valeurs de xO, yO et zO la conique obtenue passe par les points de coordonnées (x, y) = (0, r) et (0, -r) qui sont les points d'intersection du cercle équatorial et du plan horizontal.
Si on souhaite obtenir un cercle pour conique, le centre de ce cercle sera donc situé sur l'axe des x et la valeur c définie ci-dessus devra être nulle. D'autre part a devra être égal à b.
c = 0 <==> yO = 0

a = b et yO = 0 <==> zO² - r².cos² L = (cos L.xO - sin L.zO)²

                      xO²    zO²    2.tg L
a = b et yO = 0 <==> ---- - ---- - --------.xO.yO + 1 = 0
                      r²     r²       r²  
L'ensemble des centres de projection donnant une projection circulaire est une hyperbole équilatère située dans le plan Oxz. Les asymptotes de l'hyperbole sont les directions de projection du cadran de Foster-Lambert.

Pour construire un cadran ayant une projection circulaire choisissons un angle T différent de L et tel que -90° < T < 90° puis calculons successivement:

V = ± Racine (cos L/cos T)
Prenons le signe + pour obtenir le centre de projection au dessus du cadran et le signe - quand on le souhaite en dessous. Calculons ensuite les valeurs:
A = V.sin ½(T + L)

B = V.cos ½(T + L)

C = V.sin ½(T - L)

D = V.cos ½(T - L)
En fonction de R, rayon du cercle projeté souhaité, calculons le rayon du cercle équatorial:
            C
r = R.Abs (---)
            B
Les coordonnées du point J, centre du cercle projeté, s'écrivent alors:
          cos L
xJ = - r.-------
           C

yJ = 0
La position des points horaires peut se calculer par les formules suivantes:
                       C
x(h) = r.cos h.-----------------
                cos h.cos L + B

                       B
y(h) = r.sin h.-----------------
                cos h.cos L + B
On peut également définir la position des points horaires par l'intersection du cercle projeté et d'une droite passant par l'origine et faisant avec l'axe des x l'angle K compté positif dans le sens direct et tel que:
        y(h)          B
tg K = ------ = tg h.---
        x(h)          C
Le choix de la bonne intersection (il y en a deux par droite) se fait sans ambiguïté en prenant l'intersection du coté des y positifs pour les heures de l'après-midi et négatifs pour celles du matin.
Les coordonnées du pied du style sont données par:
                     D
x(d) = r.tg d.----------------
               tg d.sin L - B

y(d) = 0
Enfin, les coordonnées du centre de projection s'écrivent:
xO = r.A

zO = r.B
Afin d'illustrer ces formules plutôt arides, voici quelques tracés de cadrans horizontaux effectués pour la latitude de 49° nord et pour différentes positions du centre de projection O. Le point O' représente la projection orthogonale de O sur le plan du cadran.

Courbe hyperbolique, l'axe de rotation du style est au-dessus du cadran

Hyperbole

Courbe parabolique, l'axe de rotation du style est au-dessus du cadran

Parabole

Courbe elliptique, l'axe de rotation du style est sous le cadran

Ellipse

Courbe circulaire, l'axe de rotation du style est au-dessus du cadran

Cercle


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Date de création: 31 Août 97
Date de dernière mise à jour: 15 Septembre 00 (Merci Lysiane)