Aux cadrans solaires

Je vous propose cette petite enigme qui peut se trouver après quelques lignes de transformation algébrique à partir des formules trigonométriques de la sphère céleste. Autre indication : ce ne sont pas les formules les plus utilisées en gnomonique.

Quelle est la latitude d’un observateur qui, le 20 mai, peut observer le Soleil dans un même azimut à des hauteurs de 28 et 64° ?

On fera abstraction de la réfraction atmosphérique et on considérera la déclinaison du Soleil constante de 20° N.

Bonjour à tous,
J'ai essayé de résoudre ce joli petit problème.
J'ai trouvé une latitude de 15 degrés.
Bonne journée

Je suis parti d'une formule de trigonometrie sphérique qui relie la hauteur h, la déclinaison (d), la latitude (phi) et l'azimut (A) qui est:
Sin(d)=sin(phi)sin(h)-cos(phi)cos(h)cos(A)

Bonjour,
J'ai également trouvé 15°.
Merci pour cette énigme Yvon.

Bravo Seb et Stéphane, vous avez trouvé la bonne réponse.

La relation pour obtenir la latitude est bien celle que Stéphane a trouvée :
\(\sin\phi =\sin d\cdot\frac{\cos h' - \cos h}{\sin h\cdot\cos h' - \sin h\cdot\cos h'}=\sin d\cdot\frac{\cos h' - \cos h}{\sin (h - h')}\)

Elle est cependant plus facile à établir à partir de la relation utilisée par Seb :
\(\sin d = \sin\phi\cdot\sin h - \cos\phi\cdot\cos h\cdot\cos A\)
qui est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique appliquée au triangle de position pôle nord/zénith/Soleil.

On a donc :
\(\cos A = \frac{\sin\phi\cdot\sin h - \sin d}{\cos\phi\cdot\cos h}=\frac{\sin\phi\cdot\sin h' - \sin d}{\cos\phi\cdot\cos h'}\)
\(\sin\phi\cdot\sin h\cdot\cos h' - \sin\phi\cdot\sin h'\cdot\cos h =\sin d\cdot\cos h' - \sin d\cdot\cos h\)
\(\sin\phi\cdot(\sin h\cdot\cos h' - \sin h'\cdot\cos h) = \sin d\cdot(\cos h' - \cos h)\)
ce qui donne la relation cherchée.

J’ai proposé cette énigme à partir du texte que j’ai trouvé ici :
https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2096403/f395
où une formule complémentaire est donnée pour effectuer plus facilement les calculs qui, à l’époque, se faisaient manuellement avec des tables de logarithmes.

Heureux que cette énigme vous ait plu, n’hésitez à proposer la vôtre : plus on est de fous...

J'ai un petit problème avec cette énigme et sa solution.
Pouvez-vous me dire à quelles heures solaires les deux observations ont été faites ? autrement dit quelles sont les valeurs de cosH et sinH (donc H) pour les deux observations ?

La solution proposée donne la même valeur à cosA pour les deux observations.
Mais cosA et cos(-A) ont la même valeur (négative en l'occurence). Donc l'énigme aurait pu être (avec les mêmes hauteurs du soleil) et la même déclinaison. Quelle est la latitude de l'observateur qui voit le 20 mai le Soleil aux deux hauteurs indiquées (28° et 64°) mais avec des azimuts symétriques par rapport au Nord ... et on aurait trouvé la même latitude. Oui ou non ?

Merci pour vos réponses.

En fait, chronologiquement, l’observateur (qui est donc à la latitude de 15° N) voit le Soleil :

• à 7 h 39 (heure vraie) à la hauteur 28° dans l’azimut 105° E (par rapport au sud)
• à 10 h 13 à la hauteur 64° dans l’azimut 105° E
• à 13 h 47 à la hauteur 64° dans l’azimut 105° O
• à 16 h 21 à la hauteur 28° dans l’azimut 105° O

Dans l’énigme, on peut effectivement introduire une notion de symétrie mais celle-ci est inhérente au mouvement diurne tant que l’on considère la déclinaison constante pendant une journée. Si j’ai bien compris votre seconde question, pour moi la réponse est oui.

Merci pour votre réponse !
Et merci pour cette énigme qui m'a permis de réfléchir à la course du soleil dans le ciel à des latitudes proches de l'équateur ... ce que je n'avais pas fait jusqu'alors.

Tout à fait d'accord avec les résultats donnés.