Aux cadrans solaires

Suite au petit travail de traduction que j’ai présenté ici : viewtopic.php?p=1146#p1146, je me suis rendu compte que la méthode proposée dans le message précédent était en relation directe avec les échelles gnomoniques imaginées par Foster au début du XVIIe. Ce sont deux échelles ou règles qui permettent de tracer très facilement un cadran solaire horizontal. Si vous ne voyez pas à quoi elles ressemblent, je vous propose de parcourir le bel article de F. Ziegeltrum que vous trouverez à la page 141 de Cadran-Info n°37 (où la propriété de la droite parallèle est attribuée à W. Emerson mais sa publication est postérieure à celles de de la Hire et Bedos de Celles).

En modifiant légèrement, ci-dessous, la figure précédente où les point \(K_6\) et \(K_{12}\) sont renommés \(N\) et \(M\) pour simplifier les notations, on peut considérer que l’échelle dite « des heures » correspond au segment \(NM\) et, d’après ce qui a été dit dans le message précédent, on déduit facilement que :

• \(K_9\) est le centre de \(NM\)
• de part et d’autre de \(K_9\), les graduations sont en tangente de l’angle horaire, plus précisément :
  \[\overline{K_9K_n} = \frac{NM}{2}\tan(15°\cdot(n – 9))\]

Il ne reste plus qu’a définir l’« échelle des latitudes » qui permet de placer le point \(N\) sur la ligne de 6 h en fonction de la latitude. Les droites \(NM\) et \(OQ\) étant parallèles, les angles \(MOQ\) et \(OMN\) sont égaux. Par ailleurs, \(MOQ\) est donné par la relation des angles tabulaires : \(\tan MOQ = \sin\varphi\cdot\tan 45° = \sin\varphi\)
Si on prend \(OM\) pour unité, on a donc \(ON = MQ = \sin\varphi\) et on obtient directement, d’après le théorème de Pythagore :
\[\frac{ON}{NM} = \frac{\sin\varphi}{\sqrt{\sin^2\varphi + 1}}\]
Ce sont les deux relations nécessaires pour réaliser chacune de ces règles à partir de la longueur \(NM\) choisie suivant le besoin.