Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 903Message Yvon_M »

Bien que, vous le constaterez, la réponse à cette énigme est purement théorique et ne correspond pas vraiment à une réalité sensible, elle a le mérite de poser des questions intéressantes sur une configuration bien particulière.

Voici donc le problème à résoudre : dans quelle condition spécifique le Soleil se lève après midi solaire.

Bien sûr, on peut penser aux pôles où, suivant le méridien que l’on peut choisir arbitrairement à ces deux points singuliers, aux environs des équinoxes, le Soleil peut se lever du côté ouest, soit après midi solaire. Mais ce n’est pas la bonne réponse car il faut aussi, comme dans la vie courante, que le Soleil se couche dans la même journée.

Pour qu’il n’y ait pas d’ambiguïté, voici la définition rigoureuse des termes de cette énigme :
  • Midi solaire : passage du Soleil dans le méridien supérieur, demi-plan limité par l’axe polaire et contenant le lieu d’observation.
  • Lever et coucher du Soleil : passage du centre du Soleil à la hauteur de -0,6° correspondant pratiquement à la valeur de la réfraction atmosphérique à l’horizon utilisée par l’IMCCE, qui est de 36' 36".
  • Journée : intervalle de temps entre deux passages successifs du Soleil dans le méridien inférieur, demi-plan complémentaire à celui du méridien supérieur.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique
sebB
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Re: Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 904Message sebB »

Je propose la condition suivante:
La différence entre la latitude du lieu et la déclinaison du soleil est inférieure à 89,4 degrés.
Stéphane_L
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Re: Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 905Message Stéphane_L »

Voici ma proposition :
La hauteur du soleil doit être inférieure mais très proche de -0,6°à midi solaire. Pour que le soleil se lève l’après-midi, la déclinaison doit augmenter fortement pour compenser la baisse de hauteur du soleil après midi sur le cercle de déclinaison. La date doit donc être proche de l’équinoxe de printemps et la latitude proche de 90°.

Configuration possible : latitude 89,9°, longitude 0°, le 18 mars 2070.
Hauteur du soleil : 12 h : -0,601° ; 12 h 4m : -0,6° (le soleil se lève) ; 17h 42m : -0,6° (le soleil se couche)
Je ne suis pas certains des hauteurs ci-dessus, avec un arrondi au millième du « couteau suisse » j’aurais pu vérifier ;).
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Yvon_M
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Re: Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 906Message Yvon_M »

Seb, sans précision complémentaire, ta réponse ne peut pas être acceptée. En effet, la différence que tu proposes permet uniquement d’affirmer que la hauteur du Soleil est supérieure à -0,6° pendant une partie de la journée (par exemple pour nos latitudes), voire toute la journée pour les zones polaires.

Stéphane, votre réponse est la bonne, bravo. La possibilité d’obtenir les bonnes conditions sont toutefois plus fréquentes que ce que vous laisser entendre. On peut effectivement obtenir la déclinaison appropriée à midi solaire, c’est à dire pour le pôle nord légèrement inférieure à 90° - lat - 0,6°, en choisissant la longitude d’observation. À la période de l’équinoxe de printemps, pour chaque déplacement de 10° vers l’ouest, cette déclinaison augmente d’environ 0,011°. De plus, étant donné qu’on se situe dans un cercle qui a quelques dizaines de km de rayon, ce n’est pas un déplacement important :)

C’est donc bien à proximité du pôle nord ou sud, tous les ans un peu avant l’équinoxe, respectivement de printemps ou d’automne, sur une bande étroite de longitude qu’on peut (théoriquement) observer ce phénomène.

J’avais prévu de détailler cette curiosité, qui provient du fait que la culmination du Soleil ne se fait pas rigoureusement à midi solaire si on prend en compte la variation de la déclinaison, mais vos réponses on été plus rapides que ce que j’imaginais et je le ferai dans une prochaine contribution.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique
sebB
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Re: Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 907Message sebB »

Merci Yvon pour ce problème très intéressant
Bravo Stéphane pour ta réponse ;)
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Yvon_M
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Re: Énigme : le Soleil se lève et se couche après midi !

Message : # 908Message Yvon_M »

Comme proposé, voici un développement plus important au sujet de la course du Soleil prenant en compte la variation de la déclinaison. Cette variation est généralement négligée en gnomonique mais elle prend toute son importance dans le cadre l’énigme. On peut consulter avec profit cette publication d’Alexandre Vial qui quantifie l’angle horaire de culmination du Soleil et la différence de hauteur entre la culmination et le passage au méridien. Les deux relations qu’il obtient sont :

sin Hc = Δδ.(tan ϕ – tan δ)
dh = cos h0.Δδ²/(2.cos ϕ.cos δ)

Avec :
  • Hc : angle horaire de la culmination
  • δ : déclinaison du soleil
  • Δδ : grandeur sans dimension correspondant à la variation de δ par angle horaire.
  • ϕ : latitude du lieu d’observation
  • dh : différence de hauteur entre culmination et passage au méridien
  • h0 : hauteur du Soleil à midi solaire
Bien que ces formules soient données en considérant l’angle horaire de culmination faible, j’ai pu constater expérimentalement qu’elles donnaient une bonne approximation quand il est de quelques heures. Comme le souligne Stéphane, les angles horaires importants ne peuvent être obtenus que pour des latitudes élevées, disons supérieures à 89° et en dehors de la période des solstices, ce qui est le cas pour notre énigme car pour avoir un Soleil qui se lève et se couche à proximité du pôle il faut que sa déclinaison soit proche de 0°. Dans ce cas, on peut même simplifier la première relation car tan δ devient négligeable par rapport à tan ϕ, on obtient donc :

sin Hc = Δδ.tan ϕ

Bien que cela ne soit pas mentionné dans l’étude d’A. Vial, cette relation étant la solution d’une recherche d’extremum, elle permet aussi de déterminer l’instant où le Soleil est au plus bas dans sa course. En effet, pour un sinus donné il y a deux angles possibles, le second étant l’angle horaire Hi du passage au minimum de hauteur :

Hi = 180° – asin(Δδ.tan ϕ) (1)

Cette relation nous permet aussi de déterminer la latitude au delà de laquelle il ne sera plus possible d’avoir un coucher suivi par un lever, c’est-à-dire en absence d’extremum ou encore pour :

Δδ.tan ϕ > 1

À la période des équinoxes, la variation de déclinaison par jour est de 0,395°, d’où Δδ = 0.395/360 = 0,0011 et ϕ > 89,973°, ce qui correspond à une région circulaire de 7 km de rayon autour du pôle.

Pour illustrer ces considérations théoriques, voyons ce qui s’est passé le 18 mars 2024 à la longitude de 52° E en utilisant un calcul d’éphéméride simplifié. À la latitude de 89,5° (à 55 km du pôle nord) voici l’évolution de la hauteur au cours de la journée solaire :

Image

La culmination se produit à 12 h 29, la variation de hauteur pendant les 29 min qui suivent midi est de 0,004°. En comparaison la parallaxe du Soleil est de 0,0024°, valeur toujours négligée en gnomonique et généralement négligée en navigation astronomique. On voit qu’on est dans l’épaisseur du trait et bien qu’on puisse trouver pour cette latitude (comme pour des latitudes plus faibles), en se déplaçant en longitude, des conditions où la hauteur du Soleil passe par -0,6° deux fois dans l’après-midi, ce qui répond à l’énigme, il faut reconnaître qu’on s’éloigne de plus en plus d’une « réalité sensible ».

Notons que la hauteur minimale de la seconde partie de la journée est atteinte, symétriquement, 29 min avant minuit (il ne faut pas considérer la hauteur plus faible de –1,4° à 0 h comme un extremum car la tangente à la courbe n’est pas horizontale, l’extremum correspondant a été atteint à la fin de la journée précédente). On peut aussi noter la différence de hauteur d’environ 0,4° entre 0 et 24 h qui correspond à la variation de la déclinaison du Soleil sur la journée et qu’on retrouvera sur toutes les courbes suivantes.

Déplaçons nous directement à la latitude limite de 89,937° où on obtient la courbe suivante :

Image

On constate que les deux extremums se rejoignent à 18 h en un point d’inflexion. La variation de hauteur entre le « plateau » et midi ou minuit est maximale, elle n’est toutefois que de 0,0395° (la formule d’A. Vial donne 0,0314°).

Si on se place au pôle, la hauteur du Soleil correspond à sa déclinaison et on obtient sans surprise une évolution pratiquement linéaire de la hauteur.

Image

Plaçons nous maintenant à la latitude particulière ϕs pour laquelle Hc est proche de 45° ou 15 h solaire. Sa valeur s’obtient simplement par la relation ϕs = atan(sin 45°/Δδ). On obtient ϕs = 89,91°, valeur proche de celle proposée par Stéphane. On est donc situé à 10 km du pôle et on obtient la courbe suivante :

Image

Le choix qui a été fait de la longitude permet d’obtenir les lever et coucher répondant à l’énigme avec une curieuse surprise : un second lever dans la seconde moitié de la journée ! Cette succession d’événements sera toutefois éphémère car, pour le même lieu, le prochain coucher n’interviendra que 6 mois plus tard, quant au prochain lever ce sera l’année suivante...

La consultation des éphémérides de l’IMCCE, bien plus précises, permet de confirmer les valeurs suivantes :
  • À midi solaire h0 = -0,6115°
  • Lever à 12 h 49
  • Culmination à 14 h 57 (la formule d’A. Vial donne la même valeur) avec h = -0,5884° soit une variation dh = 0,0231° (la formule d’A. Vial donne 0,022°)
  • Coucher à 17 h 38
  • Nouveau lever à 23 h 35
Encore une fois, on voit qu’on est sur des variations infimes de hauteur (dh est inférieur au vingtième du diamètre apparent du Soleil) et décelables uniquement par des instruments précis. En conséquence la solution à l’énigme n’est qu’une simple considération théorique, pratiquement indétectable par un observateur humain.

Notons pour conclure que l’énigme aurait pu être proposée, symétriquement, de la façon suivante : dans quelle condition le Soleil se couche deux fois dans la même journée avant midi. Une des réponses possibles est celle indiquée par le titre de la courbe suivante :

Image

Note :
1 ^ - dans le cas où tan δ ne peut pas être négligé, le calcul de Hi doit se faire par la relation :
Hi = 360° - asin(Δδ.(tan ϕ + tan δ))
car, dans ce cas, cos Hi = -1
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique
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