Quelle est cette conique étudiée par J.H. Lambert ?

[Jean-Marie_M]

Parmi les notes et croquis autographes de Lambert dont il a été question dans ce sujet se trouve une figure suivie d'une démonstration. C'est cette figure que, dans un premier temps, je tente de comprendre :

quelle_conique.png (230.74 Kio) Vu 14113 fois

Il s'agit visiblement du tracé partiel d'un cadran analemmatique horizontal. L'ellipse rouge est obtenue par ses deux cercles générateurs de centre C et de rayons respectifs CD = 1 et CB = sin 47° (latitude du lieu). Elle est parcourue par le point R au fur et à mesure que l'angle horaire BCM varie.
Le point F du segment [CA] tel que BF=CD est un foyer de l'ellipse. G étant le pied du gnomon vertical, placé sur la droite (CD) en fonction de l'angle CFG (déclinaison du Soleil), c'est la demi-droite [GR) qui indique son azimut.

Le point K, intersection des demi-droites [CM) et [GR), décrit alors la courbe verte. Lambert se propose de démontrer que c'est une conique
- dont le point C, centre de l'ellipse, est un foyer ;
- dont la droite (CD), petit axe de l'ellipse, est le grand axe.

A quoi correspond cette conique ?

Comme G est le pied du gnomon et [GR) le support de son ombre, j'ai d'abord pensé que K pourrait être l'extrémité de cette ombre et la conique verte le support de l'arc diurne à la date considérée. Mais la hauteur du gnomon, qui devrait déterminer la position de ce point, n'intervenant nulle part dans la construction, la question reste posée.

Connaissant la latitude du lieu, l'angle horaire, la déclinaison, la hauteur et l'azimut du Soleil on peut calculer, en fonction de la longueur d'un gnomon vertical, celle de son ombre sur une surface horizontale. GeoGebra permet ainsi de tracer la courbe orange parcourue par l'extrémité de l'ombre du gnomon. En ajustant la longueur du gnomon pour que la courbe passe par le point K de cette figure particulière, on s'aperçoit qu'elle ne coïncide pas avec la courbe verte. Ce sont, dans le cas présent, deux coniques de natures différentes : la verte est une ellipse alors que l'orange est une hyperbole (ce qui est plus attendu pour un arc diurne en l'occurrence).

Merci à vous de me suggérer d'autres pistes de réflexion.

[sebB]

Bonjour,
Très bonne question Jean Marie
Peux tu ajouter la démonstration de Lambert. La réponse est peut-être dedans.
merci

[Jean-Marie_M]

Merci sebB de t'intéresser à la question posée.
Voici la démonstration se rapportant à la figure présentée dans ce sujet.

[sebB]

Bonjour,

Merci Jean-Marie de nous faire partager ce très beau document.

Bonne journée
Sébastien

[sebB]

Bonjour,

Je pense que dans cette démonstration, Mr Lambert s'est adonné à un exercice de géométrie.
si on observe bien la figure, on observe que l'arc d'ellipse ARB (celui du cadran solaire) est obtenu à partir de la méthode des deux cercles:
1er cercle: cercle de centre C et de rayon CD
2ème cercle : cercle de centre C et de rayon CB.

comment obtient-il le point K ?
il s'obtient par construction géométrique. C'est le point d'intersection entre les droites (MC) et (RG).

Je pense qu' à une date donnée (G fixé sur la ligne des dates) et en faisant varier le point M sur le grand cercle, il cherche à démontrer que le point K décrit une ellipse.
C'est tout simplement une recherche de lieu géométrique.

Je vais essayer de le vérifier en faisant cette recherche de lieu géométrique avec géogébra.

A creuser.......
Sébastien

[Jean-Marie_M]

Que la courbe rouge soit le lieu du point R, la verte celui du point K, que la rouge soit une ellipse, que Lambert veuille démontrer que la seconde est une conique dont foyer et grand axe sont respectivement centre et petit axe de la première, que la nature de cette conique dépend de deux paramètres a et c, que tout cela se vérifie avec GéoGebra - voir partie droite de la figure - n'est pas l'objet de ma question : le document n'en fait pas mystère.
Ta réponse, Sébastien, me donne l'occasion de la préciser, ma question, et je t'en remercie.

L'ellipse rouge est, nous le savons, la courbe sur laquelle se placent les repères horaires d'un cadran analemmatique horizontal à gnomon vertical.

C'est ce rôle - concrètement gnomonique - de la courbe verte, qui me pose question. Celui d'arc diurne ne résiste pas à l'examen. Alors lequel ?

Tu penches pour un exercice géométrique sans signification gnomonique. Bien que je puisse l'envisager, je n'en suis pas convaincu. Ton invitation à continuer de creuser me va bien.

[Yvon_M]

Je n’ai pas réussi, pour l’instant, à trouver une quelconque réalité gnomonique de la conique mise en évidence par Lambert et je serais tenté de penser qu’il n’y en a pas.

En prenant par exemple le cas de la parabole qui correspond au cas où le double de la déclinaison d du Soleil est égal à la hauteur e de l’équateur (e = 90° - ϕ). J’ai réussi, en tâtonnant, à retrouver le cône qui permet de générer la parabole. L’angle entre son axe et une de ses génératrices est de 45°, son sommet est en x ; y ; z = 0 ; 0,5 ; 1 et l’intersection de son axe avec le plan du cadran est en x ; y = 0 ; -0,5.

La parabole, tout comme le cône, est la même quel que soit le couple d ; e et n’est donc reliée à aucune de ces grandeurs. C’est ce qui me fait pencher pour l’absence de signification gnomonique. Mais cela mérite, bien sûr, d’être plus approfondi.

Voici un autre point qui m’est apparu en étudiant les relations de Lambert : je n’ai pas trouvé de justification sur le fait que le point C soit, de façon générale, le foyer des coniques. Si cela est vrai pour la parabole, il me semble que pour le cas des ellipses il faut remplir la condition suivante pour que C soit effectivement le foyer : sin² e.tan² d – (1 – cos e)² = 1.

Je serais intéressé à ce que les utilisateurs avertis de Geogebra puissent me confirmer cette hypothèse, déjà simplement en vérifiant si les foyers sont ou ne sont pas systématiquement au point C.

J’ai aussi relevé quelques coquilles que je soumets à votre vérification :

• en bas de la page b, rajouter sin e en facteur de 2.sin² ½e.tan d à la fin de la dernière relation,
• en la fin de la page d, remplacer cos ½e par cot ½e.

C’est, pour l’instant, les seuls éléments que j'ai pu extraire du manuscrit de Lambert.

Modification : j’ai corrigé cot ½c par cot ½e ci-dessus.

[Yvon_M]

Après vérification par une autre méthode, je retrouve bien le fait que toutes les ellipses ont un foyer en C. Merci de ne pas tenir compte de ma remarque ci-dessus : je me suis bêtement emmêler dans la comparaison de deux équations quadratiques…

[Yvon_M]

Je n’ai pas réussi à trouver une quelconque réalité gnomonique à la conique de Lambert et, de guerre lasse, j’arrête ici mes investigations. Elles m’ont toutefois donné l’occasion de réviser quelques notions sur les coniques que je vous livre :

• pour une conique donnée, il n’y a pas seulement un cône dont l’intersection avec le plan fournit la conique, mais une infinité (si cela intéresse certains, je peux donner une construction géométrique pour définir ces cônes)
• une des caractéristiques fondamentales des coniques est leur excentricité E qui, pour celle de Lambert, a pour valeur E = a/c ou encore E = tan ½e/tan d
• les cônes permettant de générer une conique d’excentricité E doivent avoir un demi-angle au sommet α et leur axe doit faire un angle θ avec le plan tels que cos θ/cos α = E
• une courbe diurne sur un plan horizontal a donc pour excentricité E = sin e/sin d

Ces éléments permettront peut-être à d’autres de poursuivre ces investigations…

[Jean-Marie_M]

J’ai aussi relevé quelques coquilles que je soumets à votre vérification :

• en bas de la page b, rajouter sin e en facteur de 2.sin² ½e.tan d à la fin de la dernière relation,
• en la fin de la page d, remplacer cos ½e par cot ½e.

Lors d'une lecture attentive de cette démonstration, j'avais été arrêté par ces deux "coquilles". Moins à l'aise que vous dans les calculs trigonométriques et n'imaginant pas Lambert se tromper, il a fallu m'en convaincre par des séries d'exemples numériques sur tableur. Que vous y apportiez les mêmes corrections ou presque m'encourage à continuer l'exercice. En effet Lambert semble avoir poursuivi cette étude sur les pages d'un autre double-feuillet.