La géométrie du quadrant ancien

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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La géométrie du quadrant ancien

Message : #564 Yvon_M
mer. 11 nov. 2020 15:07

Le quadrant ancien, ou quadrans vetus, est un quadrant universel qui permet de lire les heures temporaires avec une certaine précision. Plus la latitude d’utilisation est faible meilleure est la précision. Ce n’est donc pas un quadrant rigoureusement exact mais un compromis d’autant plus astucieux que son tracé est très simple car il ne comporte pratiquement que des arcs de cercle.

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Le quadrant ancien : figure extraite de Protomathesis d’O. Fine, numérisation e-rara.

Dans cette nouvelle discussion je vous proposerai de retrouver le tracé de cet instrument avec un outil mathématique que vous connaissez bien mais qui est aujourd’hui un peu délaissé. Il était toutefois parfaitement maîtrisé par les inventeurs de ce quadrant que l’on s’accorde aujourd’hui à situer dans le monde Arabe de la fin du premier millénaire. Cet outil est, vous l’avez compris, la géométrie.

Les heures temporaires, ou antiques ou encore inégales, étaient en usage jusqu’à la fin du Moyen-Âge. Leur durée variait en fonction des saisons car il y avait exactement 12 heures dans une journée. Elles était décomptées depuis le lever du Soleil et il était 12 h à son coucher.

Si on imagine que le Soleil se déplace sur une sphère, sa course diurne décrit un arc de cercle. Aux équinoxes, cet arc est un demi-cercle. Il est plus grand au printemps et en été, plus petit en automne et en hiver. Les variations de grandeur de l’arc au cours des saisons sont d’autant plus importantes que la latitude est élevée. À l’équateur, la variation est nulle et le Soleil décrit toute l’année des demi-cercles.

Devant la multiplicité de ces cas de figure et dans l’optique d’aboutir à un instrument universel, les inventeurs du quadrant ancien ont pu imaginer de ramener les différentes courses du Soleil à une configuration unique en acceptant une certaine erreur si, bien sûr, elle est raisonnable. La configuration très simple et qui est le cas moyen pour toutes les latitudes est bien sûr le demi-cercle. Celui-ci doit toutefois être ajusté à la course réelle du Soleil. En prenant un rayon tel que le demi-cercle débute sur l’horizon et passe par la position du Soleil à 6 h, on a au moins, pour cette heure et les heures extrêmes de la journée, une correspondance exacte. Voyons ce qu’il en est pour les autres heures en se plaçant dans l’optique de ne mesurer que la hauteur du Soleil.

Sur la figure suivante la course du Soleil est tracée en rouge pour le solstice d’été à une latitude de 40° en regardant dans la direction du pôle sud. Le demi-cercle associé est tracé en bleu et il est divisé en 12 parties égales de 15°. Le renvoi de ces divisions vers le cercle rouge permet d’apprécier l’erreur qui sera commise et qui ne dépasse pas, dans ce cas, 10 min d’heure temporaire.

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Figure 1

Pour le solstice d’hiver on obtient cette seconde figure avec une erreur encore plus faible :

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Figure 2

Ce n’est pas si mal ! Du moins les inventeurs du quadrant ancien se sont contenté de cette approximation car, nous le verrons ensuite, elle apporte des propriétés intéressantes qui conduisent à la réalisation d’un instrument extrêmement simple et facile à tracer.

Résumons cette approximation en projetant l’ensemble de la sphère céleste locale perpendiculairement sur le plan du méridien en suivant la technique graphique connue depuis l’Antiquité : l’analemme. Cette projection sera différente pour chaque latitude mais le raisonnement que nous allons établir sera valable dans tous les cas.

La course du Soleil pour une date donnée se projette suivant un segment de droite que nous appellerons segment diurne. Sur la figure 3 sont représentés les segments diurnes correspondant aux jours de l’entrée du Soleil dans les différents signes du zodiaque.

Les courbes rouges correspondent à la position réelle du Soleil pour toutes ses déclinaisons et aux différentes heures temporaires. Les courbes bleues correspondent à l’approximation que nous avons effectuée. Ces dernières ont la propriété évidente et particulièrement intéressante de diviser tous les segments diurnes suivant les mêmes proportions.

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Figure 3

Intéressons-nous à un cas particulier tout en gardant à l’esprit que le raisonnement restera valable pour toutes les déclinaisons. Prenons, par exemple, le segment diurne de l’entrée dans le Taureau et cherchons comment obtenir l’angle de la hauteur du Soleil pour les différentes heures approchées et représentées par les courbes bleues. On comprendra facilement qu’il faut reporter leurs intersections avec le segment diurne du Taureau, parallèlement à l’horizon, jusqu’au cercle du méridien et tirer ensuite, du centre O, un rayon OP qui viendra rejoindre sur le méridien l’intersection correspondant à l’heure considérée, 2 ou 10 h dans le cas de la figure 4. La hauteur du Soleil cherchée sera alors l’angle h entre l’horizon et le rayon OP.

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Figure 4

Il est à noter que, quelles que soient la latitude et la déclinaison du Soleil, la répartition des reports horizontaux, c’est-à-dire par exemple le rapport d/D pour 2 ou 10 h, sera toujours identique. Seul l’écartement total D sera différent et correspondra à la hauteur maxi du Soleil pour le jour concerné.

En imaginant de faire tourner la figure précédente d’un quart de tour dans le sens horaire, on est conduit naturellement à imaginer l’instrument suivant où un fil suspendu au point O fait parcourir à une perle P l’arc du méridien de l’analemme.

Pour régler la position de la perle, il suffit de se placer dans le cas de la hauteur maxi du Soleil, qu’il faut connaître par ailleurs, et placer la perle sur la ligne de 6 h. L’utilisation du cadran est ensuite identique à celle du Capucin.

Le quart de cercle gradué qui donne la hauteur du Soleil permet aussi de tracer les lignes horaires, il correspond en quelque sorte à la moitié des demi-cercles que nous avons utilisés dès le début pour l’approximation des heures temporaires.

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Figure 5

Très bien, me direz-vous, nous avons obtenu un instrument simple mais qui semble bien éloigné du quadrant ancien…
Rassurez-vous : nous n’en avons jamais été aussi près ! Il nous reste à donner un petit coup de baguette magique qui porte le nom moderne d’inversion géométrique.

J’aborderai ce point dans un prochain message pour vous laisser le temps de bien comprendre ce que je vous ai présenté et, au cas où, me poser des questions si certains points n’étaient pas suffisamment clairs.
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sebB
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Re: La géométrie du quadrant ancien

Message : #575 sebB
mer. 30 déc. 2020 15:52

Bonjour à tous,

Merci yvon pour cet exposé très intéressant et instructif sur les heures inégales.
j'ai une question à propos de la figure 3.

quel formulaire mathématique as-tu utilisé pour obtenir les courbes de la figure 3 ?

Merci

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Yvon_M
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Re: La géométrie du quadrant ancien

Message : #577 Yvon_M
dim. 3 janv. 2021 16:52

Seb, j’ai tracé cette figure à l’aide d’un petit programme en Python, aussi je n’ai pas vraiment de formulaire mais voici comment j’ai procédé :
  • Pour les courbes rouges qui correspondent aux heures temporaires :
    À partir de la latitude \(\phi\) et de la déclinaison \(d\), j’ai calculé le demi arc diurne \(A\) par la relation :
    \(A=\arccos(-\tan \phi\cdot\tan d)\)
    En divisant cet arc en 6, j’ai calculé les angles horaires H (au sens moderne) qui correspondent à chaque heure temporaire et j’ai appliqué les relations classiques de la gnomonique en utilisant les coordonnées cartésiennes. Pour la figure, on a besoin que des deux coordonnées suivant l’axe nord-sud et l’axe vertical.
  • Pour les courbes bleues qui correspondent à la position du Soleil aux heures mesurées par le quadrant ancien :
    Conformément à l’approximation proposée, chaque segment de droite diurne qui représente une déclinaison \(d\) est gradué par le facteur \(\sin n\cdot15°\) où \(n\) est l’heure temporaire. Si on met en place un repère au centre O avec l’axe des \(x\) vers le sud et celui des \(y\) vers le zénith, les coordonnées des points extrêmes du segment diurne de déclinaison \(d\) sont :
    \(x_1 = -R\cdot\sin d/\cos\phi\)
    \(y_1=0\)
    \(x_2 = R\cdot\cos(90°-\phi+d)\)
    \(y_2 = R\cdot\sin(90°–\phi+d)\)
    \(R\) étant le rayon du cercle méridien. Les coordonnées du point correspondant à l’heure temporaire \(n\) sont :
    \(x=x_1+(x_2–x_1)\cdot\sin n\cdot15°\)
    \(y=y_2\cdot\sin n\cdot15°\)

Correction : indication des bonnes couleurs
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique

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Re: La géométrie du quadrant ancien

Message : #578 Yvon_M
ven. 22 janv. 2021 22:35

L’instrument auquel nous a conduit l’analemme, bien que très simple, a toutefois l’inconvénient de présenter un rapport hauteur sur largeur assez important et peu harmonieux. Ce rapport sera d’autant plus grand que l’on aura besoin de faire des mesures à des hauteurs plus faibles. On remarque aussi que la surface permettant de faire la mesure est à l’extérieur du quart de cercle utilisé pour la graduation de hauteur alors que l’intérieur est totalement inexploité.

On pourrait alors être tenté de rechercher une transformation géométrique qui permette d’associer aux droites horaires à l’extérieur du quart de cercle des courbes qui seraient à l’intérieur. En algèbre, il existe une relation simple qui permet de faire correspondre à toutes les valeurs positives supérieures à une limite lm des valeurs positives inférieures à cette même limite, c’est la relation qui à v associe v’ tel que v’ = lm²/v

Exploitons cette relation en associant à la perle P réglée à une distance d du centre O une nouvelle perle P’ qui sera réglée à la distance d’ telle que d’ = R²/d, R étant le rayon du quart de cercle. Pour obtenir la courbe sur laquelle la perle P’ indiquera l’heure h on est alors conduit à faire correspondre, pour chaque point M de la ligne horaire h, un point M’ situé sur la droite OM et tel que OM’ = R²/OM

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Figure 6

En refaisant cette opération pour toutes les lignes horaires on obtient un réseau de courbes définissant un nouvel instrument entièrement compris à l’intérieur du quart de cercle. Pour le réglage de la perle P’, il suffit, comme pour l’instrument initial, de la placer sur la nouvelle courbe horaire de 6 h quand le fil fait l’angle correspondant à la hauteur maxi du Soleil au jour de la mesure.

Intéressons-nous maintenant à la nature des courbes horaires de ce nouvel instrument. Il ne vous a peut-être pas échappé que la procédure proposée pour tracer celles-ci est une transformation géométrique qui est appelée inversion de pôle O et de rapport R². L’étude des inversions montre qu’elles font correspondre un cercle à une droite et, par conséquent, un arc de cercle à une portion de droite. Les courbes horaires de ce nouvel instrument sont donc exclusivement des arcs de cercle qui partent de l’extrémité de la demi-droite horaire correspondante qui est située sur le quart de cercle limite, en effet sur celui-ci les points M et M’ se confondent par définition. Par ailleurs, tous les arcs se terminent au point O avec une tangente commune car, suivant les propriétés de l’inversion, les centres des arcs sont situés sur l’unique droite passant par O et perpendiculaire aux droites horaires.

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Figure 7

Vous l’avez compris : ce nouvel instrument est tout simplement le quadrant ancien.

Ce qui peut paraître anachronique dans cette démonstration est l’utilisation de l’inversion qui a été formalisée au début du XIXe siècle. Il s’avère toutefois que les géomètres du Moyen-Âge, voire de l’Antiquité, faisait de l’inversion sans s’en rendre compte (tout comme, bien des années plus tard, M. Jourdain faisait de la prose… :) ). En effet, la projection stéréographique est bel et bien une inversion, il faut toutefois trouver dans cette projection la propriété particulière concernant les distances et que nous avons exploitée. Nous allons voir qu’elle est particulièrement évidente et il serait difficile de croire qu’elle ait pu échapper aux géomètres de la fin du premier millénaire qui ont étudié de près la projection stéréographique.

Situons-nous, figure suivante, dans le plan contenant le centre de projection O et le centre de la sphère C. Pour se placer dans le cas le plus général, considérons que le plan de projection est situé à une distance quelconque de la sphère. La sphère laisse sur le plan de la figure sa trace qui est un cercle et la trace du plan de projection est une droite perpendiculaire à OC. Soient H la projection du point H’ situé sur la droite OC et M la projection d’un point quelconque M’ du cercle.

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Figure 8

D’après les propriétés du cercle, l’angle OM’H’ est droit. De ce fait, les triangles OM’H’ et OHM sont similaires car ils ont 2 angles identiques. On peut alors écrire :
OM’/OH’ = OH/OM
D’où notre relation d’inversion :
OM’ = OH’.OH/OM
Car OH’.OH est une constante propre à la géométrie de la figure.
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Stéphane_L
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Re: La géométrie du quadrant ancien

Message : #579 Stéphane_L
dim. 24 janv. 2021 16:57

Merci Yvon pour cet exposé très intéressant !
Ces explications très clairs m'ont permises de comprendre le tracé du diagramme des heures inégales au dos des astrolabes.