Diagramme stéréographique

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David_A
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Diagramme stéréographique

Message : #659 David_A
sam. 25 sept. 2021 13:55

Bonjour,
En suivant les instructions de Denis Savoie dans son livre La Gnomonique (Les Belles Lettres), j'ai tracé un diagramme stéréographique.
Ce tracé, réalisé pour une latitude donnée, permet notamment de prévoir les périodes d'éclairement d'un cadran solaire plan (ou d'un mur), au fil de la journée et de l'année.
Comme son nom l'indique, ce diagramme est le résultat d'une projection stéréographique des cercles de la sphère céleste, avec l'équateur en guise de plan de projection, et le pôle Sud comme point de projection. Par conséquent, les arcs diurnes d'égale déclinaison apparaissent comme des cercles concentriques.
Dans l'image ci-jointe, la déclinaison du plan est nulle (mur ou cadran méridional). Le plan est matérialisé par l'arc de couleur marron. Le grand cercle extérieur est l'horizon de l'observateur. Ici, on lit qu'au solstice d'été, le plan est éclairé de 7h30 à 16h30 environ.
Grâce aux lignes horaires (radiales), o y lit également les heures de lever et de coucher du Soleil (intersections des arcs diurnes avec l'horizon).
J'ai réalisé ce tracé avec LaTeX (et plus précisément l'extension TikZ). Dans le code (ci-joint), vous pouvez facilement modifier les valeurs de latitude, de déclinaison du cadran, ainsi que la distance zénithale pour les cadrans inclinés. Cependant, les limites de calcul de LaTeX sont atteintes pour certaines valeurs "extrêmes" de déclinaison (proche de 90°) ou de distance zénithale.

Si vous avez des idées d'amélioration, n'hésitez pas à les partager.
Fichiers joints
DiagStereographique.tex.zip
le code LaTeX du fichier
(1.96 Kio) Téléchargé 35 fois
DiagStereographique_495_0b.png
DiagStereographique_495_0b.png (164.33 Kio) Vu 335 fois

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Yvon_M
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Re: Diagramme stéréographique

Message : #663 Yvon_M
dim. 3 oct. 2021 20:45

Merci David pour nous proposer ce diagramme qui permet de traiter un problème sur lequel j’ai eu l’occasion de passer beaucoup de temps, j’y reviendrai plus tard.

En parcourant votre programme, j’ai été surpris par les relations qui déterminent le cercle du cadran. En effet, il n’y a pas de raison pour qu’elles soient différentes de celles qui servent à déterminer le cercle de l’horizon. En consultant Gnomonique moderne (je n’ai pas La Gnomonique, mais je suppose que le passage concernant ce diagramme est commun aux deux livres), j’ai bien retrouvé les mêmes relations et, en approfondissant, j’ai constaté qu’elles comportaient de petites erreurs.

Pour moi le rayon d’un cercle est une distance qui, par définition, est positive. La latitude équivalente \(f\) pouvant être négative, on doit écrire :
\[r_c=|\frac{R}{\sin f}|\]
Quant à \(PK\), \(P\) étant le pôle nord et \(K\) le centre du cercle, c’est une distance algébrique mesurée sur l'axe orienté suivant l’heure \(S \) de la sous-stylaire, il convient donc de l’écrire \(\overline{PK}\) avec :
\[\overline{PK}=\frac{R}{\tan f}\]
En plus, il faut considérer la règle suivante : si la latitude \(f\) est positive, c’est la partie concave du cercle qui correspond à l’avant du cadran. Si \(f\) est négative, c’est la partie convexe.

Il est aussi intéressant de noter que cette règle s’applique de la même manière au cercle de l’horizon et qu’il est donc possible d’utiliser ce diagramme pour l’hémisphère sud, sans changer la définition de la projection. Afin de prendre en compte les valeurs de \(\phi\) négatives, il faut donc écrire les relations du cercle de l’horizon de la même manière :
\[r_h=|\frac{R}{\sin \phi}| \qquad \overline{PM}=\frac{R}{\tan \phi}\]
\(\overline{PM}\) étant pris sur l’axe orienté de la ligne de midi. Voici ce que j’ai pu obtenir en prenant \(\phi = -42°\), \(D = 150°\) et \(z = 90°\). On obtient alors \(S = 40,79°\) et \(f = 40,06°\), le diagramme est le suivant :

Image

\(f\) étant positif, c’est donc à l’intérieur du cercle marron que l’on trouve les heures d’éclairement du cadran. On peut aussi remarquer qu’il faut inverser la dénomination hiver/été des solstices car dans l’hémisphère sud, le printemps et l’été ont lieu quand la déclinaison du Soleil est négative.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique

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David_A
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Re: Diagramme stéréographique

Message : #664 David_A
mer. 6 oct. 2021 20:07

Merci, Yvon, d'avoir pris le temps de regarder de près le calcul, et pour ces précisions. Notamment concernant l'utilisation pour l'hémisphère sud.

David

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Yvon_M
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Re: Diagramme stéréographique

Message : #670 Yvon_M
ven. 15 oct. 2021 23:29

Comme proposé, je voulais apporter un petit complément au problème des heures extrêmes vues par un cadran plan. D. Savoie, qui a consacré à ce sujet un chapitre de 15 pages dans la Gnomonique moderne, observe que « le cas des cadrans inclinés déclinant est lourd à traité en globalité », c’est pourquoi il a proposé le diagramme que David nous a fait partager.

Il y a maintenant plus de 20 ans, je m’étais penché sur le problème et j’avais préféré utiliser un autre type de diagramme, avec des lignes horaires parallèles et dont les courbes de l’horizon et du cadran sont des sinusoïdes. Cela avait fait l’objet d’un petit programme sur calculette et d’un article que vous pouvez consulter ici :
http://cadrans-solaires.scg.ulaval.ca/c ... v5no3.html

Les moyens ont beaucoup évolué depuis, Geogébra nous permet maintenant de représenter ce diagramme de façon plus interactive :

En jouant sur les curseurs (allez y, le diagramme est vraiment interactif et ce sont de vrais curseurs que vous pouvez manœuvrer à la souris) on peut voir comment évolue la zone blanche qui donne les heures ou le cadran est éclairé en fonction de la déclinaison du Soleil, ou plus exactement de sa tangente. On peut constater que la zone violette est directement liée aux paramètres du cadran horizontal équivalent (CHE) : sa latitude f et sa différence de longitude S.

À l’époque, j’avais voulu aussi trouver un algorithme pour calculer directement les heures extrêmes d’éclairement en fonction des paramètres du cadran. Cela m’avait bien occupé l’esprit et comme le résultat était assez complexe, j’avais préféré le laisser sous forme d’un simple programme. Vous le retrouverez ici :
http://gnomonique.fr/gnomon/eclair.htm

En le reprenant pour vous le présenter, ce que je ferai dans un prochain message, j’ai constaté qu’on pouvait encore le simplifier. En attendant, je l’ai intégré dans ce message et vous pouvez l’utiliser avec le bouton ‘Calculer’ du tableau après avoir renseigné les valeurs d’entrée : latitude du lieu, déclinaison et inclinaison du cadran.


Bonne utilisation !
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique