Un cadran horizontal à tracer à la règle et surtout au compas


Construction par le calcul

Afin de réaliser ce cadran par le calcul, nous allons établir les relations qui définissent son tracé et la position du style. Pour cela remarquons que si on utilise comme plan de projection le plan horizontal de symétrie de la sphère à la place du plan (H) précédant on obtient le même tracé à un facteur d'échelle près.

Définissons sur ce plan de symétrie le système d'axe suivant (Fig. 2):

Fig. 2

Soit Q un point quelconque de la sphère de rayon r. Repérons la position de Q par les coordonnées sphériques classiques du repère local, c'est-à-dire azimut A et hauteur H, et cherchons la position du point Q', projection stéréographique de Q à partir des points Z et N. Pour cela plaçons-nous dans le plan vertical contenant Q (Fig. 3).

Fig. 3

D'après les propriétés du cercle l'angle NZQ est égal à:

NZQ = ½.NIQ = ½.(90° + H)
De même on a:
ZNQ = ½.ZIQ = ½.(90° - H)
Pour généraliser posons S = ±1 avec S = 1 si on utilise la projection stéréographique de centre Z et S = -1 pour le centre N. On obtient ainsi la position de Q' dans le repère rectangulaire par:
xQ' = r.cos A.tg ½.(90° + S.H)

yQ' = -r.sin A.tg ½.(90° + S.H)
A partir de Q définissons le cercle (C) sur la sphère comme l'intersection de celle-ci avec un cône de révolution d'axe IQ et de demi-angle au sommet B. Traitons tout de suite le cas particulier où (C) passe par le centre de projection, dans ce cas sa projection est une droite. Plaçons-nous dans le plan vertical contenant Q et supposons que le centre de projection soit Z (Fig. 4). La droite projetée est perpendiculaire à ce plan et passe par F. Remarquons que ZF est perpendiculaire à IQ, l'angle NZF est donc égal à H. De la même façon on peut montrer que lorsque le centre de projection est N, l'angle ZNF est égal à -H.

Fig. 4

En résumé on peut écrire que dans ce cas particulier la projection est une droite:

Dans le repère Ixy cette droite a pour équation: x.cos A - y.sin A = S.tg H

Dans le cas général, cherchons le centre C et le rayon R du cercle projeté. En se plaçant encore une fois dans le plan vertical contenant Q (Fig. 5) on peut écrire:

IC = ½.(IE' + ID') et R = ½.Abs(IE' - ID')
Fig. 5

Développons pour le plaisir l'expression de IC:

IC = ½.r.(tg ½.(90° + S.(H + B)) + tg ½.(90° + S.(H - B)))
D'après la formule trigonométrique:
               sin (p + q)
tg p + tg q = -------------
               cos p.cos q

                          sin (90° + S.H)
IC = ½.r.-------------------------------------------------
          cos ½.(90° + S.(H + B)).cos ½.(90° + S.(H - B))
Enfin d'après:
cos p.cos q = ½.(cos (p + q) + cos (p - q))

              sin (90° + S.H)                cos H
IC = r.--------------------------- = r.-----------------
        cos (90° + S.H) + cos S.B       cos B - S.sin H
Ce qui permet d'obtenir:
       r.cos A.cos H            -r.sin A.cos H
xC = ----------------- et yC = -----------------    (1)
      cos B - S.sin H           cos B - S.sin H
Enfin par un développement similaire on obtient:
             r.sin B
R = Abs(-----------------)                          (2)
         cos B - S.sin H
Appliquons ces formules aux demi-cercles horaires qui ont tous pour extrémités les points P et P'. De ce fait les arcs de cercle projetés aurons également pour extrémités les points X et X', projections respectives de P et P'. La droite passant par X et X' est la méridienne. Pour faciliter le tracé, regroupons les demi-cercles de la sphère deux par deux pour former des grands cercles complets. Chaque regroupement associe alors une heure du matin à une heure du soir avec une différence de 12 heures. Il sera facile de retrouver l'affectation des heures en remarquant que l'arc du cercle projeté situé à l'est de la méridienne correspond à l'heure du soir et le complément situé du coté ouest à l'heure du matin.
Le grand cercle regroupant les heures vraies de midi et minuit passe par Z et N et se projette suivant la méridienne. Le segment XX' correspond à midi si S = 1 et minuit pour S = -1.

Soit Ah l'angle horaire d'un des demi-cercles du regroupement. L'angle B vaut 90° et le point Q est situé sur l'équateur. A la latitude L, comptée positive dans l'hémisphère nord et négative dans le sud, les coordonnées de Q s'écrivent:

xQ = r.sin L.sin Ah = r.cos A.cos H
yQ = r.cos Ah      = -r.sin A.cos H
zQ = r.cos L.sin Ah = r.sin H

                       r.sin L.sin Ah    
d'après (1): xC(Ah) = ---------------- = -S.r.tg L
                      -S.cos L.sin Ah

                          r.cos Ah          -S.r
             yC(Ah) = ---------------- = -------------
                      -S.cos L.sin Ah     cos L.tg Ah

                               r
d'après (2): R(Ah) = Abs(--------------)
                          cos L.sin Ah
En se plaçant maintenant dans le plan du méridien (Fig. 6) définissons la position du point O sur l'axe PP' par l'angle K compté positif à partir de l'équateur vers le pôle nord et tel que IO = r.sin K

Fig. 6

Exprimons les angles A, H et B qui définissent le cercle de date du cadran sphérique pour la déclinaison d du soleil. Prenons systématiquement l'axe IP comme référence de l'angle B en acceptant que B puisse être supérieur à 90°. On a d'emblée A = 180° et H = L. Pour B on peut écrire:

B = PIM = PIJ + JIM = d + JIM

d'autre part  IJ = r.cos JIM = IO.cos d = r.sin K.cos d

d'où                     cos JIM = sin K.cos d

enfin B = d + Arccos (sin K.cos d)
A l'aide de ces angles on peut alors appliquer les formules (1) et (2) pour tracer les cercles de date projetées.

A la vue de la figure 7 située dans le plan du méridien, on voit que le cercle projeté de l'horizon est centré sur l'origine. Pour obtenir son rayon cherchons l'angle B défini à partir de l'axe IZ. On a:

IU = r.cos B = IO.sin L = r.sin K.sin L

d'où  B = Arccos (sin K.sin L)
Fig. 7

Il faut ensuite appliquer la formule (2) avec H = 90° ce qui donne:

          r.sin B
R = Abs(-----------)
         cos B - S
Le pied du style correspond à la projection O' du point O (à partir de Z sur la figure 7). O' est situé sur la méridienne, donc yO' = 0. Par ailleurs on peut écrire en appelant T le centre de projection:
          TI                           S.r
xO' = xO.---- = -r.sin K.cos L.---------------------
          TJ                    S.r - r.sin K.sin L

        r.sin K.cos L
xO' = -------------------
       S.sin K.sin L - 1
Le style passe par les points N ou Z suivant la valeur de S. Il est donc dans le plan méridien et son angle V par rapport à la verticale, compté positif quand le style est incliné vers le sud, s'obtient par la relation:
        xO'     sin K.cos L
tg V = ----- = -----------------
       -S.r     S - sin K.sin L
Remarque: Ces formules sont valables en tout point du globe sans aucune modification.


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Date de création: 21 Février 99