Définissons sur ce plan de symétrie le système d'axe suivant (Fig. 2):
Soit Q un point quelconque de la sphère de rayon r. Repérons la position de Q par les coordonnées sphériques classiques du repère local, c'est-à-dire azimut A et hauteur H, et cherchons la position du point Q', projection stéréographique de Q à partir des points Z et N. Pour cela plaçons-nous dans le plan vertical contenant Q (Fig. 3).
D'après les propriétés du cercle l'angle NZQ est égal à:
NZQ = ½.NIQ = ½.(90° + H)De même on a:
ZNQ = ½.ZIQ = ½.(90° - H)Pour généraliser posons S = ±1 avec S = 1 si on utilise la projection stéréographique de centre Z et S = -1 pour le centre N. On obtient ainsi la position de Q' dans le repère rectangulaire par:
xQ' = r.cos A.tg ½.(90° + S.H) yQ' = -r.sin A.tg ½.(90° + S.H)A partir de Q définissons le cercle (C) sur la sphère comme l'intersection de celle-ci avec un cône de révolution d'axe IQ et de demi-angle au sommet B. Traitons tout de suite le cas particulier où (C) passe par le centre de projection, dans ce cas sa projection est une droite. Plaçons-nous dans le plan vertical contenant Q et supposons que le centre de projection soit Z (Fig. 4). La droite projetée est perpendiculaire à ce plan et passe par F. Remarquons que ZF est perpendiculaire à IQ, l'angle NZF est donc égal à H. De la même façon on peut montrer que lorsque le centre de projection est N, l'angle ZNF est égal à -H.
En résumé on peut écrire que dans ce cas particulier la projection est une droite:
Dans le cas général, cherchons le centre C et le rayon R du cercle projeté. En se plaçant encore une fois dans le plan vertical contenant Q (Fig. 5) on peut écrire:
IC = ½.(IE' + ID') et R = ½.Abs(IE' - ID')
Développons pour le plaisir l'expression de IC:
IC = ½.r.(tg ½.(90° + S.(H + B)) + tg ½.(90° + S.(H - B)))D'après la formule trigonométrique:
sin (p + q) tg p + tg q = ------------- cos p.cos q sin (90° + S.H) IC = ½.r.------------------------------------------------- cos ½.(90° + S.(H + B)).cos ½.(90° + S.(H - B))Enfin d'après:
cos p.cos q = ½.(cos (p + q) + cos (p - q)) sin (90° + S.H) cos H IC = r.--------------------------- = r.----------------- cos (90° + S.H) + cos S.B cos B - S.sin HCe qui permet d'obtenir:
r.cos A.cos H -r.sin A.cos H xC = ----------------- et yC = ----------------- (1) cos B - S.sin H cos B - S.sin HEnfin par un développement similaire on obtient:
r.sin B R = Abs(-----------------) (2) cos B - S.sin HAppliquons ces formules aux demi-cercles horaires qui ont tous pour extrémités les points P et P'. De ce fait les arcs de cercle projetés aurons également pour extrémités les points X et X', projections respectives de P et P'. La droite passant par X et X' est la méridienne. Pour faciliter le tracé, regroupons les demi-cercles de la sphère deux par deux pour former des grands cercles complets. Chaque regroupement associe alors une heure du matin à une heure du soir avec une différence de 12 heures. Il sera facile de retrouver l'affectation des heures en remarquant que l'arc du cercle projeté situé à l'est de la méridienne correspond à l'heure du soir et le complément situé du coté ouest à l'heure du matin.
Soit Ah l'angle horaire d'un des demi-cercles du regroupement. L'angle B vaut 90° et le point Q est situé sur l'équateur. A la latitude L, comptée positive dans l'hémisphère nord et négative dans le sud, les coordonnées de Q s'écrivent:
xQ = r.sin L.sin Ah = r.cos A.cos H yQ = r.cos Ah = -r.sin A.cos H zQ = r.cos L.sin Ah = r.sin H r.sin L.sin Ah d'après (1): xC(Ah) = ---------------- = -S.r.tg L -S.cos L.sin Ah r.cos Ah -S.r yC(Ah) = ---------------- = ------------- -S.cos L.sin Ah cos L.tg Ah r d'après (2): R(Ah) = Abs(--------------) cos L.sin AhEn se plaçant maintenant dans le plan du méridien (Fig. 6) définissons la position du point O sur l'axe PP' par l'angle K compté positif à partir de l'équateur vers le pôle nord et tel que IO = r.sin K
Exprimons les angles A, H et B qui définissent le cercle de date du cadran sphérique pour la déclinaison d du soleil. Prenons systématiquement l'axe IP comme référence de l'angle B en acceptant que B puisse être supérieur à 90°. On a d'emblée A = 180° et H = L. Pour B on peut écrire:
B = PIM = PIJ + JIM = d + JIM d'autre part IJ = r.cos JIM = IO.cos d = r.sin K.cos d d'où cos JIM = sin K.cos d enfin B = d + Arccos (sin K.cos d)A l'aide de ces angles on peut alors appliquer les formules (1) et (2) pour tracer les cercles de date projetées.
A la vue de la figure 7 située dans le plan du méridien, on voit que le cercle projeté de l'horizon est centré sur l'origine. Pour obtenir son rayon cherchons l'angle B défini à partir de l'axe IZ. On a:
IU = r.cos B = IO.sin L = r.sin K.sin L d'où B = Arccos (sin K.sin L)
Il faut ensuite appliquer la formule (2) avec H = 90° ce qui donne:
r.sin B R = Abs(-----------) cos B - SLe pied du style correspond à la projection O' du point O (à partir de Z sur la figure 7). O' est situé sur la méridienne, donc yO' = 0. Par ailleurs on peut écrire en appelant T le centre de projection:
TI S.r xO' = xO.---- = -r.sin K.cos L.--------------------- TJ S.r - r.sin K.sin L r.sin K.cos L xO' = ------------------- S.sin K.sin L - 1Le style passe par les points N ou Z suivant la valeur de S. Il est donc dans le plan méridien et son angle V par rapport à la verticale, compté positif quand le style est incliné vers le sud, s'obtient par la relation:
xO' sin K.cos L tg V = ----- = ----------------- -S.r S - sin K.sin LRemarque: Ces formules sont valables en tout point du globe sans aucune modification.
Date de création: 21 Février 99