L’anneau horaire à trous fixes
Posté : dim. 26 avr. 2020 08:42
Suite aux échanges sur le fil anneaux de paysan où, à la demande d’Eric_M, quelques références bibliographiques sur ce sujet ont été proposées, il a été mis en lumière que le type d’anneau horaire qui, de la Renaissance à nos jours, semble avoir été le plus connu et le plus fabriqué est un anneau à trou mobile et, de nos jours particulièrement, à échelle horaire unique. Malgré qu’il a été admis que cet anneau n’était pas d’une grande précision (1), les aléas de l’histoire ont fait qu’un autre type d’anneau comportant deux trous fixes n’a pas connu le même succès, bien qu’il apportait une plus grande rigueur. Ceci est d’autant plus regrettable que l’étude de son tracé et la méthode pour l’obtenir relève de plusieurs astuces particulièrement ingénieuses qui méritent d’être soulignées et connues. Aussi je vous propose, dans les lignes qui suivent, d’illustrer à partir de figures géométriques simples les principes sur lesquels reposent ces astuces.
Anneau horaire de 1736. Collection online du British Museum
La description du tracé de cet anneau semble avoir été imprimée pour la première fois en 1531 par Munster (2) puis pratiquement en même temps dans la Protomathésis d’O. Finé (3). C’est de ce cours en latin que de Sainte-Marie-Magdeleine reprit la matière qu’il inséra en français dans son Traité d’horlogiographie, au moins à partir de l’édition de 1657 (4).
Voici la figure telle qu’on peut la trouver dans ce traité. Elle correspond à l’anneau déplié et elle comporte aussi les lignes propres à la procédure du tracé. Cette procédure sera détaillée au fur et à mesure de la présentation des astuces.
Figure 1
La première astuce repose sur une propriété du cercle. Sur la figure suivante où est représenté l’anneau \(\mathrm{OAB}\), \(\mathrm{O}\) est la position du trou qui peut être quelconque, \(\mathrm{A}\) la position de la tache de lumière quand le Soleil est sur l’horizon et \(\mathrm{B}\) quand le Soleil est à une hauteur \(h\). L’angle des points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) vu depuis le centre \(\mathrm{C}\) fait deux fois la hauteur du Soleil.
Figure 2
Cette propriété, qui peut sembler assez surprenante, peut se démontrer très facilement en divisant l’angle \(h =\mathrm{\widehat{AOB}}\) en deux parties par le diamètre \(\mathrm{OO’}\) et en refaisant deux fois le constat suivant sur les parties \(\mathrm{OAO’}\) et \(\mathrm{OBO’}\) :
En considérant le triangle \(\mathrm{OCA}\) qui est isocèle car \(\mathrm{CO} = \mathrm{CA} = R\), les angles en \(\mathrm{O}\) et en \(\mathrm{A}\) sont donc identiques, nous les appellerons \(\alpha\). Quant à l’angle en \(\mathrm{C}\) qui est égal à \(180–\alpha –\alpha\), il est aussi égal à \(180 – \beta\). D’où \(\beta = 2\alpha\)
La propriété \(\mathrm{\widehat{ACB}} = 2h\) est particulièrement intéressante car quand l’anneau sera déplié, la grandeur angulaire de hauteur pourra être appliquée sur une échelle linéaire. Cette échelle est d’ailleurs la droite \(GH\) de la figure 1, elle est graduée de 0 à 90° et sa longueur correspond à la moitié de l’anneau déplié.
La seconde astuce concerne la relation entre la hauteur et la déclinaison du Soleil qui est assimilée à une relation linéaire et est ainsi représenté par une droite sur le tracé de l’anneau déplié.
Sur la sphère céleste représentée à la figure 3 suivante, considérons un cercle horaire \(\mathrm{PSM}\) quelconque, d’angle horaire \(H\) et sur lequel se situe le Soleil \(\mathrm{S}\). \(\mathrm{M}\) est l’intersection du cercle horaire et de l’équateur. Intéressons nous au triangle \(\mathrm{SQM}\) délimité par le cercle horaire, l’almicantarat du Soleil et le vertical du point \(\mathrm{M}\).
Figure 3
L’angle en \(\mathrm{Q}\) est droit. \(\mathrm{SM}\) est la déclinaison du Soleil \(d\) et \(\mathrm{QM}\) est la différence entre la hauteur du Soleil \(h\) et \(h_0\), \(h_0\) étant la hauteur du Soleil à l’équinoxe pour le même angle horaire. \(\mathrm{SQM}\) étant relativement petit, nous pouvons l’assimiler à un triangle plan avec lequel nous pouvons écrire :
\(h-h_0\simeq\cos\alpha\cdot d\)
Le triangle sphérique \(\mathrm{PZM}\) nous fournit par ailleurs les relations suivantes :
\(\tan\alpha =\frac{\sin H}{\tan\phi}\)
\(\sin h_0=\cos \phi\cdot\cos H\)
On peut bien sûr tirer la seconde relation de la relation fondamentale :
\(\sin h=\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H\)
qui, elle, découle du triangle sphérique \(\mathrm{PZS}\).
Notons qu’avec le calcul différentiel, outil mathématique plus récent, on peut aussi obtenir la proportion entre \(h – h_0\) et \(d\) à partir de la formule fondamentale. En dérivant la hauteur par rapport à la déclinaison, on obtient :
\(\frac{\partial h}{\partial d}=\frac{\cos d\cdot\sin\phi-\sin d\cdot\cos\phi\cdot\cos H}{\sqrt{1-(\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H)^2}}\)
Cette dérivée nous donne pour \(d = 0\) :
\(h-h_0\simeq\frac{\sin\phi}{\sqrt{1-\cos^2\phi\cdot\cos^2 H}}\cdot d\)
Voyons maintenant si nos relations approchées permettent une approximation sérieuse. Sur le graphique suivant sont représentées, pour les heures entières de jour à la latitude de 45°, en bleu la droite correspondante à la relation approchée et en rouge la courbe de hauteur réelle.
Ce n’est pas si mal ! Et nous allons voir que les choses ont été encore améliorées avec la troisième astuce. L’idée est simplement de couper le graphique précédent en deux, verticalement et par son milieu, et de placer chaque partie en vis à vis sur l’anneau qui est percé d’un second trou, en \(\mathrm{A}\) sur la figure 2 du début. Cela permet d’une part d’utiliser au mieux la surface concave de l’anneau et d’autre part de limiter la variation de la déclinaison. Par ailleurs, la procédure ne demande pas de tracer une tangente pour \(d = 0\), mais de relier les points des hauteurs du Soleil pour les solstices et les équinoxes. Les hauteurs sont extraites d’une table d’une petite trentaine de valeurs pour une latitude donnée. On obtient ainsi le graphique suivant avec, comme précédemment, en bleu les droites du tracé et en rouge les courbes réelles de hauteur. On peut constater une réduction conséquente de l’erreur.
Cependant la déclinaison n’est pas une grandeur facile à utiliser dans l’usage courant et on préfère se référer au calendrier. L’utilisation du calendrier zodiacal permet toutefois une alternative intéressante : il est plus proche des événements solaires car il est directement relié à la longitude du Soleil sur l’écliptique. Nous allons voir que ce choix permet de mettre en place une nouvelle astuce.
La figure 4 suivante représente l’hémisphère nord de la voûte céleste. \(\mathrm{P}\) est le pôle nord et \(L\) la longitude qui est mesurée à partir de \(\gamma\), point où le Soleil est situé à l’équinoxe de printemps. \(\epsilon\) est l’obliquité de l’écliptique dont la valeur est environ 23,5°.
La déclinaison correspond à l’angle \(\mathrm{SM}\). On peut toutefois obtenir une valeur approchée de cet angle par la portion de cercle \(\mathrm{SM’}\). Le cercle correspondant serait décrit par le soleil si on faisait tourner le plan de l’écliptique autour de l’axe \(\gamma\gamma’\). Son centre est donc le point \(\mathrm{Q}\) et son rayon est \(\sin L\). Comme \(d = \epsilon\) quand \(L = 90°\), on en déduit :
\(d\simeq\mathrm{SM'} = \epsilon\cdot\sin L\)
Figure 4
La valeur exacte de la déclinaison est donnée par le triangle sphérique \(\gamma\mathrm{MS}\) dont l’angle en \(\mathrm{M}\) est droit :
\(\sin d=\sin\epsilon\cdot\sin L\)
Sur le graphique suivant, la courbe approximative est tracée en bleu et la courbe réelle en rouge. La différence maxi est de l’ordre du quart de degré.
C’est le principe de cette approximation qui est utilisée pour tracer les lignes des signes. En effet, la procédure demande de tracer deux quarts de cercle aux extrémités de l’anneau déplié qu’il faut ensuite diviser en 3 parties égales pour les 3 signes d’une saison. Les points de division de chaque quart de cercle sont alors reliés par des droites qui représentent l’entrée dans les signes.
Figure 5
La largueur \(l\) de l’anneau correspond à la déclinaison maxi \(\epsilon\). Pour une longitude \(L\) (60° sur la figure 5), la ligne de signe correspondante (l’entrée dans les Gémeaux, le Lion, le Sagittaire et le Verseau sur la figure) est située à la distance \(l\cdot\sin L\) de la droite des équinoxes, ce qui correspond bien à la valeur approchée de la déclinaison \(\epsilon\cdot\sin L\) que nous avons établie plus haut.
Sur la figure 6 suivante, qui a été réalisée conformément à la procédure, la hauteur réelle du Soleil est superposée en rouge. On constate que l’utilisation de la déclinaison approchée permet d’atténuer l’erreur sur certaines lignes horaires tous en l’augmentant pour d’autres mais en conservant globalement une erreur plus qu’acceptable pour un petit cadran de poche.
Figure 6
Nous verrons toutefois dans une prochaine publication qu’il existe une erreur plus importante dans le principe de cet anneau. Nous mettrons en place les relations pour la calculer et nous évaluerons les conditions permettant de rester dans des limites raisonnables de précision. Nous verrons aussi comment une réalisation du XVIIIe siècle a mis en place une solution originale pour limiter cette erreur de façon satisfaisante.
1 ^ - J. OZANAM / GRANDIN : Récréations mathématiques et physiques. Tome II p. 120 - planche 16 et 17. 1723 à Paris
2 ^ - S. MUNSTER : Compositio horologiorum p. 155. 1531 à Bâle
3 ^ - O. FINE : Protomathesis fo. 184. 1532 à Paris
4 ^ - P. de SAINTE-MARIE-MAGDELEINE : Traitté d’horlogiographie p. 158 - planche 32. 1657 à Paris
Anneau horaire de 1736. Collection online du British Museum
La description du tracé de cet anneau semble avoir été imprimée pour la première fois en 1531 par Munster (2) puis pratiquement en même temps dans la Protomathésis d’O. Finé (3). C’est de ce cours en latin que de Sainte-Marie-Magdeleine reprit la matière qu’il inséra en français dans son Traité d’horlogiographie, au moins à partir de l’édition de 1657 (4).
Voici la figure telle qu’on peut la trouver dans ce traité. Elle correspond à l’anneau déplié et elle comporte aussi les lignes propres à la procédure du tracé. Cette procédure sera détaillée au fur et à mesure de la présentation des astuces.
Figure 1
La première astuce repose sur une propriété du cercle. Sur la figure suivante où est représenté l’anneau \(\mathrm{OAB}\), \(\mathrm{O}\) est la position du trou qui peut être quelconque, \(\mathrm{A}\) la position de la tache de lumière quand le Soleil est sur l’horizon et \(\mathrm{B}\) quand le Soleil est à une hauteur \(h\). L’angle des points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) vu depuis le centre \(\mathrm{C}\) fait deux fois la hauteur du Soleil.
Figure 2
Cette propriété, qui peut sembler assez surprenante, peut se démontrer très facilement en divisant l’angle \(h =\mathrm{\widehat{AOB}}\) en deux parties par le diamètre \(\mathrm{OO’}\) et en refaisant deux fois le constat suivant sur les parties \(\mathrm{OAO’}\) et \(\mathrm{OBO’}\) :
En considérant le triangle \(\mathrm{OCA}\) qui est isocèle car \(\mathrm{CO} = \mathrm{CA} = R\), les angles en \(\mathrm{O}\) et en \(\mathrm{A}\) sont donc identiques, nous les appellerons \(\alpha\). Quant à l’angle en \(\mathrm{C}\) qui est égal à \(180–\alpha –\alpha\), il est aussi égal à \(180 – \beta\). D’où \(\beta = 2\alpha\)
La propriété \(\mathrm{\widehat{ACB}} = 2h\) est particulièrement intéressante car quand l’anneau sera déplié, la grandeur angulaire de hauteur pourra être appliquée sur une échelle linéaire. Cette échelle est d’ailleurs la droite \(GH\) de la figure 1, elle est graduée de 0 à 90° et sa longueur correspond à la moitié de l’anneau déplié.
La seconde astuce concerne la relation entre la hauteur et la déclinaison du Soleil qui est assimilée à une relation linéaire et est ainsi représenté par une droite sur le tracé de l’anneau déplié.
Sur la sphère céleste représentée à la figure 3 suivante, considérons un cercle horaire \(\mathrm{PSM}\) quelconque, d’angle horaire \(H\) et sur lequel se situe le Soleil \(\mathrm{S}\). \(\mathrm{M}\) est l’intersection du cercle horaire et de l’équateur. Intéressons nous au triangle \(\mathrm{SQM}\) délimité par le cercle horaire, l’almicantarat du Soleil et le vertical du point \(\mathrm{M}\).
Figure 3
L’angle en \(\mathrm{Q}\) est droit. \(\mathrm{SM}\) est la déclinaison du Soleil \(d\) et \(\mathrm{QM}\) est la différence entre la hauteur du Soleil \(h\) et \(h_0\), \(h_0\) étant la hauteur du Soleil à l’équinoxe pour le même angle horaire. \(\mathrm{SQM}\) étant relativement petit, nous pouvons l’assimiler à un triangle plan avec lequel nous pouvons écrire :
\(h-h_0\simeq\cos\alpha\cdot d\)
Le triangle sphérique \(\mathrm{PZM}\) nous fournit par ailleurs les relations suivantes :
\(\tan\alpha =\frac{\sin H}{\tan\phi}\)
\(\sin h_0=\cos \phi\cdot\cos H\)
On peut bien sûr tirer la seconde relation de la relation fondamentale :
\(\sin h=\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H\)
qui, elle, découle du triangle sphérique \(\mathrm{PZS}\).
Notons qu’avec le calcul différentiel, outil mathématique plus récent, on peut aussi obtenir la proportion entre \(h – h_0\) et \(d\) à partir de la formule fondamentale. En dérivant la hauteur par rapport à la déclinaison, on obtient :
\(\frac{\partial h}{\partial d}=\frac{\cos d\cdot\sin\phi-\sin d\cdot\cos\phi\cdot\cos H}{\sqrt{1-(\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H)^2}}\)
Cette dérivée nous donne pour \(d = 0\) :
\(h-h_0\simeq\frac{\sin\phi}{\sqrt{1-\cos^2\phi\cdot\cos^2 H}}\cdot d\)
Voyons maintenant si nos relations approchées permettent une approximation sérieuse. Sur le graphique suivant sont représentées, pour les heures entières de jour à la latitude de 45°, en bleu la droite correspondante à la relation approchée et en rouge la courbe de hauteur réelle.
Ce n’est pas si mal ! Et nous allons voir que les choses ont été encore améliorées avec la troisième astuce. L’idée est simplement de couper le graphique précédent en deux, verticalement et par son milieu, et de placer chaque partie en vis à vis sur l’anneau qui est percé d’un second trou, en \(\mathrm{A}\) sur la figure 2 du début. Cela permet d’une part d’utiliser au mieux la surface concave de l’anneau et d’autre part de limiter la variation de la déclinaison. Par ailleurs, la procédure ne demande pas de tracer une tangente pour \(d = 0\), mais de relier les points des hauteurs du Soleil pour les solstices et les équinoxes. Les hauteurs sont extraites d’une table d’une petite trentaine de valeurs pour une latitude donnée. On obtient ainsi le graphique suivant avec, comme précédemment, en bleu les droites du tracé et en rouge les courbes réelles de hauteur. On peut constater une réduction conséquente de l’erreur.
Cependant la déclinaison n’est pas une grandeur facile à utiliser dans l’usage courant et on préfère se référer au calendrier. L’utilisation du calendrier zodiacal permet toutefois une alternative intéressante : il est plus proche des événements solaires car il est directement relié à la longitude du Soleil sur l’écliptique. Nous allons voir que ce choix permet de mettre en place une nouvelle astuce.
La figure 4 suivante représente l’hémisphère nord de la voûte céleste. \(\mathrm{P}\) est le pôle nord et \(L\) la longitude qui est mesurée à partir de \(\gamma\), point où le Soleil est situé à l’équinoxe de printemps. \(\epsilon\) est l’obliquité de l’écliptique dont la valeur est environ 23,5°.
La déclinaison correspond à l’angle \(\mathrm{SM}\). On peut toutefois obtenir une valeur approchée de cet angle par la portion de cercle \(\mathrm{SM’}\). Le cercle correspondant serait décrit par le soleil si on faisait tourner le plan de l’écliptique autour de l’axe \(\gamma\gamma’\). Son centre est donc le point \(\mathrm{Q}\) et son rayon est \(\sin L\). Comme \(d = \epsilon\) quand \(L = 90°\), on en déduit :
\(d\simeq\mathrm{SM'} = \epsilon\cdot\sin L\)
Figure 4
La valeur exacte de la déclinaison est donnée par le triangle sphérique \(\gamma\mathrm{MS}\) dont l’angle en \(\mathrm{M}\) est droit :
\(\sin d=\sin\epsilon\cdot\sin L\)
Sur le graphique suivant, la courbe approximative est tracée en bleu et la courbe réelle en rouge. La différence maxi est de l’ordre du quart de degré.
C’est le principe de cette approximation qui est utilisée pour tracer les lignes des signes. En effet, la procédure demande de tracer deux quarts de cercle aux extrémités de l’anneau déplié qu’il faut ensuite diviser en 3 parties égales pour les 3 signes d’une saison. Les points de division de chaque quart de cercle sont alors reliés par des droites qui représentent l’entrée dans les signes.
Figure 5
La largueur \(l\) de l’anneau correspond à la déclinaison maxi \(\epsilon\). Pour une longitude \(L\) (60° sur la figure 5), la ligne de signe correspondante (l’entrée dans les Gémeaux, le Lion, le Sagittaire et le Verseau sur la figure) est située à la distance \(l\cdot\sin L\) de la droite des équinoxes, ce qui correspond bien à la valeur approchée de la déclinaison \(\epsilon\cdot\sin L\) que nous avons établie plus haut.
Sur la figure 6 suivante, qui a été réalisée conformément à la procédure, la hauteur réelle du Soleil est superposée en rouge. On constate que l’utilisation de la déclinaison approchée permet d’atténuer l’erreur sur certaines lignes horaires tous en l’augmentant pour d’autres mais en conservant globalement une erreur plus qu’acceptable pour un petit cadran de poche.
Figure 6
Nous verrons toutefois dans une prochaine publication qu’il existe une erreur plus importante dans le principe de cet anneau. Nous mettrons en place les relations pour la calculer et nous évaluerons les conditions permettant de rester dans des limites raisonnables de précision. Nous verrons aussi comment une réalisation du XVIIIe siècle a mis en place une solution originale pour limiter cette erreur de façon satisfaisante.
1 ^ - J. OZANAM / GRANDIN : Récréations mathématiques et physiques. Tome II p. 120 - planche 16 et 17. 1723 à Paris
2 ^ - S. MUNSTER : Compositio horologiorum p. 155. 1531 à Bâle
3 ^ - O. FINE : Protomathesis fo. 184. 1532 à Paris
4 ^ - P. de SAINTE-MARIE-MAGDELEINE : Traitté d’horlogiographie p. 158 - planche 32. 1657 à Paris