2 points d'ombre

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
Avatar du membre
Yvon_M
Administrateur du site
Messages : 112
Enregistré le : dim. 4 nov. 2018 01:54
Localisation : Pontoise (Île-de-France)
Contact :

2 points d'ombre

Message : #200 Yvon_M
dim. 7 juil. 2019 16:23

Les notions d’inclinaison et de déclinaison sont si présentes en gnomonique qu’on a l’impression qu’elles sont obligatoires, et bien disons le tout net : c’est faux ! Ces angles définissent la position du cadran dans le repère local qui a la particularité d’être facile à retrouver (verticale et direction du sud). Le repère local n’est toutefois qu’un repère intermédiaire et il n’est absolument pas indispensable. Les seules informations nécessaires pour établir un cadran solaire sont la direction de l’axe polaire et une seule ligne d’heure. Girard Desargues l’a montré de façon originale en 1640 (1) avec une procédure mi-pratique mi-géométrique et qui a aussi la particularité de ne pas tracer ni utiliser la sous-stylaire.

Quelques année plus tard, un certain Sieur R. A., probablement inspiré par Desargues, publia un opuscule de seulement 13 pages (2) dont le titre est particulièrement explicite : Manière de décrire un cadran des heures à la française sur toute sorte de superficie plane, sans savoir la hauteur du pôle du lieu, la déclinaison ou l’inclinaison du plan à l’aide seulement de deux points d’ombre pris au hasard, et sachant la déclinaison du point du zodiaque où se trouve le Soleil. Le tout le plus simplement qu’on saurait souhaiter.

Pour la première fois, semble-t-il, on envisageait d’utiliser 2 points d’ombre pour déterminer la position de l’axe polaire et, sans élément supplémentaire que la ligne de midi, réaliser entièrement le cadran le plus difficile à tracer, à savoir le cadran incliné déclinant. Bien que cette méthode ait eu peu de retentissement, on la retrouve toutefois mentionnée dans divers ouvrages de gnomonique jusqu’à une époque récente. Enfin, quand j’ai commencé à développer le logiciel Calcad, c’était dans le but de mettre en application cette méthode qui m’avait beaucoup impressionné par le peu de notion à mettre en œuvre.

Dans ce premier message, je vous propose de présenter la méthode du Sieur R. A. Ensuite je vous ferai un historique des publications proposant d’établir un cadran solaire avec 2 points d’ombre. Enfin, dans un troisième message, je vous exposerai la modernisation apportée par Calcad et les choix qui ont été retenus pour son utilisation.

Comme il est dit plus haut, le principe de la méthode du Sieur R. A. est, dans un premier temps, de placer le style suivant l’axe polaire. Pour cela, quand on a relevé les 2 points d’ombres C et D de l’extrémité A d’un gnomon outil AB (voir la figure I de la planche suivante, extraite de la brochure du Sieur R. A.) on reporte à part, sur une surface plane, les distances AC et AD sur une même ligne (figure II). On trace ensuite une droite KE passant par A et telle que l’angle entre ACD et AE corresponde au complément de la déclinaison du soleil au jour de l’observation, KE représente alors l’axe polaire avec E du côté sud. En donnant au point E une position quelconque, on mesure les distances EC et ED et on les reporte sur deux baguettes. On reporte ensuite la distance EA sur la verge qui servira de style (figure III). En assemblant les baguettes et le style sur le cadran de façon à faire correspondre les lettres repères, on retrouve ainsi la position du point E dans l’espace et par suite celle du style polaire EF (figure I).

Image

Le style en place, on peut ensuite tracer facilement toutes les lignes du cadran :
  • la sous-stylaire FG s’obtient en reportant, à l’aide d’une équerre par exemple, le style perpendiculairement sur le plan du cadran
  • l’équinoxiale HP est la perpendiculaire à la sous-stylaire en en point M qui peut être quelconque
  • on obtient le centre N du cadran équatorial auxiliaire rabattu sur le plan du cadran. en reportant sur la sous-stylaire à partir de M la distance entre ce point et le style. La distance doit être mesurée perpendiculairement au style
  • la ligne de midi vrai est située à l’intersection du plan méridien avec celui du cadran. Comme le plan méridien est vertical et contient le style, un simple fil à plomb permet donc d’obtenir un ou plusieurs points de la ligne de midi comme indiqué à la figure IIII
  • les lignes horaires se tracent en divisant le cadran équatorial auxiliaire et, des points d’intersection avec l’équinoxiale, en tirant les lignes horaires vers le centre F
Vous conviendrez qu’il est difficile de faire plus simple. Le seul reproche qu’on pourrait adresser au Sieur R. A. est de ne pas avoir mentionné que le point E a deux positions possibles et qu’il est nécessaire de choisir la bonne, c’est-a-dire celle qui est en direction du sud par rapport à A.

Cette double solution apparaît clairement quand on envisage le problème au niveau de la sphère céleste (voir figure suivante). La connaissance des points C et D nous donne la position du Soleil \(S_C\) et \(S_D\) sur la sphère. La distance entre le pôle nord et le Soleil étant le complément de sa déclinaison \(d\), le pôle se trouve donc à l’intersection des 2 cercles de centre \(S_C\) et \(S_D\) et de rayon \(90°-d\). Les deux points d’intersection P et P’ sont les deux solutions possibles dont il convient alors de choisir la bonne à l’aide d’une indication complémentaire.

Image

C’est ici que s’arrête la première partie de l’exposé. J’ai voulu être concis dans la présentation de cette méthode mais si certains points demandent des éclaircissements, n’hésitez pas à les demander.

1 ^ - À la fin d’un fascicule sur la coupe des pierres (pdf de 11,5 Mo) publié en 1640 à Paris, Girard Desargues rajouta, à titre d’illustration, un chapitre d’une vingtaine de lignes intitulé : Manière universelle de tracer au moyen du style placé, tous cadrans plats d’heures égales au Soleil, avec la règle, le compas, l’équerre et le plomb. Les conceptions de Desargues sur la gnomonique furent ensuite développées par Abraham Bosse en 1463 dans son livre La Manière universelle de M. Desargues, lyonnais, pour poser l’essieu et placer les heures. Dans cet ouvrage le principe de base pour déterminer l'axe polaire est l’utilisation de 3 points d’ombre, autre approche qui ne sera pas présentée ici.

2 ^ - Sieur R.A. Manière de décrire un cadran des heures à la française (pdf de 0,7 Mo), 1644 à Paris.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique

Avatar du membre
Yvon_M
Administrateur du site
Messages : 112
Enregistré le : dim. 4 nov. 2018 01:54
Localisation : Pontoise (Île-de-France)
Contact :

Re: 2 points d'ombre

Message : #208 Yvon_M
mer. 24 juil. 2019 22:04

Dans cette seconde partie je vous présenterai les textes que j’ai pu trouver et qui décrivent comment établir entièrement un cadran à partir de 2 points d’ombre.

À la séance du 16 mars 1680 de l’Académie royale des sciences, Philippe de La Hire laissait un manuscrit concernant une méthode pour faire des cadrans qui a été reproduit dans les procès verbaux de cette académie (3). Le principe de cette méthode consiste à tracer l’équinoxiale à partir de 2 points d’ombre B et C en traçant, autours de ces 2 points, deux coniques comme IH qui correspondent à l’intersection du plan du cadran avec deux cônes droits. Ces cônes ont pour sommet l’extrémité S du porte-ombre, pour axe les droites SB et SC, et enfin pour demi-angle au sommet la déclinaison du Soleil à l’instant où on a relevé les points d’ombre correspondants. La Hire précise que les points peuvent être pris à des dates différentes. L’équatoriale est la droite tangente aux deux coniques, la droite MK qui lui est perpendiculaire et qui passe par P, pied de l’extrémité S, est la sous-stylaire. En reportant de P perpendiculairement à MK la distance PS on obtient le point L. De ce point, en tirant la perpendiculaire à LM on obtient sur la droite MK le point K qui est le centre du cadran.

Image

Il semble que l’utilisation des 2 points ait piqué la curiosité de La Hire car deux années plus tard il publia dans son ouvrage Gnomonique ou l’art de tracer les cadrans (4) pas moins de trois autres méthodes, en plus de celle qu’il avait présentée à l’Académie (4.1), toutes basées sur la connaissance de 2 points d’ombre. La seconde (4.2), en considérant que la première soit celle de l’Académie, est assez similaire à cette dernière. Elle consiste à tracer deux coniques dont l’intersection est le centre du cadran et qui sont, en fait, la projection gnomonique des cercles de la sphère qui ont été présentés dans la première partie de cet exposé. Notons aussi que dans ces deux premières méthodes, La Hire s’affranchit du choix de la bonne solution parmi les deux possibles en précisant « dans la direction de l’équatoriale » ou « dans la direction du centre » quand il faut tirer les demi-droites, comme BG ou BF, qui font partie de la procédure graphique permettant d’obtenir les coniques.

La troisième méthode (4.3) est un peu plus restrictive car elle demande à ce que la déclinaison du Soleil soit la même pour les 2 points d’ombre. Sans rentrer dans les détails, on remarquera simplement que cette méthode est à rapprocher de celle développée par Abraham Bosse avec qui La Hire avait collaboré. Cela devient particulièrement évident quand il précise comment trouver le centre du cadran avec un troisième point d’ombre sans connaître la déclinaison du Soleil.

Enfin la quatrième méthode (4.4) est une adaptation géométrique de celle du Sieur R. A. où La Hire prend grand soins de considérer tous les cas de figure. Il prend notamment en compte un cas particulier qui peut se rencontrer avec les baguettes CE et DE du Sieur R. A. : il est possible que le point E se retrouve derrière la surface du cadran. Bien que dans ce cas on soit dans l’obligation de reconsidérer un nouveau point E et refaire de nouvelles baguettes, de son côté la méthode géométrique de La Hire permet de traiter le cas de figure correspondant sans aucune contrainte particulière.

Faisons maintenant un petit crochet du côté des calculs trigonométriques. À l’époque de La Hire (et jusqu’à une époque assez récente : les années 60 :) ), ces calculs étaient devenus plus faciles à effectuer depuis l’invention des logarithmes. Adriaan Vlacq avait largement contribué à les diffuser en imprimant ses fameuses tables qui eurent de nombreuses rééditions. Elles ont toujours été accompagnées de problèmes, notamment d’astronomie, pour se familiariser à l’utilisation des logarithmes et servir d’aide mémoire pour les formules utilisées qui sont assez complexes. Dans la réédition de 1666 de ces tables (5), un nouveau problème a été introduit expliquant comment calculer, par la trigonométrie sphérique, la position du pôle à partir de la positions de deux astres dont la déclinaison est connue. Il est aussi précisé que ce problème peut servir à la gnomonique et particulièrement pour les cadrans d’orientation quelconque.

En 1693 La Hire faisait publier sous le titre De la Pratique des grands cadrans par le calcul (6) le manuscrit de gnomonique que l’abbé Picard, décédé en 1682, avait laissé inachevé. Dès les premières lignes le ton est donné : « Mon dessein n’est pas de parler contre les pratiques de géométrie […] mais toutes choses bien considérées, on demeurera d’accord que la meilleure manière de bien réussir à la construction d’un grand cadran, est de le calculer ». Au troisième problème du chapitre III, Picard aborde la façon de trouver l’élévation du pôle et la sous-stylaire sur un plan d’orientation quelconque à partir de 2 points d’ombre en connaissant la déclinaison du Soleil. Il rappelle que ce problème correspond à celui qui a été présenté ci-dessus et il détaille la procédure à suivre :

Image

Sur la sphère, AB représente le plan du cadran, C est le prolongement du style droit, P le pôle, E et F les positions du Soleil correspondantes aux 2 points d’ombre. Du triangle sphérique CEF on connaît l’angle ECF ainsi que les cotés CE et CF, on peut donc résoudre ce triangle et déterminer le coté EF et l’angle EFC. PE et PF étant les compléments de la déclinaison du Soleil, du triangle PEF on connaît donc les 3 côtés et on peut déterminer l’angle EFP. Si l’on retire cet angle à EFC on obtient l’angle PFC et on peut résoudre le triangle PFC qui donnera l’élévation du pôle et sa direction par rapport à F. Bien que tout cela paraisse simple à énoncer, les calculs à effectuer sont loin d’être faciles car il faut résoudre pas moins de 3 triangles quelconques et si besoin reconsidérer la 3ième résolution si par malchance on s’est orienté vers la mauvaise solution. C’est peut-être la raison qui fera que cette approche n’ait jamais été reprise dans les traités de gnomonique qui suivront.

De fait, ce sont les méthodes géométriques de La Hire qui seront reprises par deux fois dans le courant du XVIIIe siècle. La première en 1742, dans le traité de Dominique François Rivard (7) qui a été considéré comme une référence (4 éditions sur 25 ans, soit avec une période équivalente le même nombre d’éditions que la célèbre Gnomonique pratique de Bedos de Celles). À la fin de la section consacrée aux cadrans inclinés, Rivard reprend la première méthode de La Hire en apportant un certain nombre de détails et de précautions supplémentaires. Il propose ensuite une méthode spécifique pour trouver la ligne de midi en utilisant la trace du plan horizontal qui passe par l’extrémité du porte-ombre.

La seconde fois deux années plus tard, dans un autre traité de gnomonique (8) où Pierre Blaise, d’après sa préface, tente de satisfaire un public qui désire « quelque chose de plus claire, de plus sensible, de plus palpable » que les traités déjà publiés. Il considère donc deux types de cadran : les cadrans simples, comme l’équatorial ou le méridional, et les cadrans composés, c’est-à-dire les déclinants et les inclinés déclinants, pour lesquels il ne donne qu’une seule méthode générale : la 4ième méthode de P. de La Hire.

Dans le Dictionnaire de mathématiques de l’Encyclopédie méthodique paru à partir de 1784 (9), Jérôme de Lalande propose d’expliquer 8 méthodes pour tracer les cadrans verticaux déclinants (il en donne en fait 9) et à la 6ieme il évoque rapidement une méthode utilisant 2 points d’ombre avec une nouveauté par rapport à ce que nous avons vu : l’utilisation de deux cartons triangulaires associés aux 2 points d’ombre A et B.

Image

Pour chaque carton, un des côtés doit avoir une longueur égale à la distance entre l’extrémité du porte-ombre S et le point d’ombre associé. L’angle en S doit être égal au complément de la déclinaison du Soleil. Quand on place ces cartons entre les points d’ombre et l’extrémité du porte-ombre en rassemblant les côtés SC, ceux-ci correspondent à la position du style polaire.

Enfin à une époque bien plus récente, en 2003, dans son livre Les Cadrans solaires (10) Denis Savoie reprend et améliore l’idée de ces cartons : il les rassemble en un seul qu’il suffit alors de plier suivant l’arête SC. Il proposera de son côté un angle en S de 90°+d sans que cela soit contradictoire. Par rapport à S, le point C de Lalande doit être dirigé vers le pôle sud et celui de Savoie vers le pôle nord. Ces deux auteurs ont toutefois oublié de le préciser.

Cette seconde partie s’achève ici. J’espère que cette incursion dans les vieux traités vous aura plu. Mon but était de vous montrer que les 2 points pouvaient être utilisés de différentes manières pour atteindre le même but : établir un cadran solaire sans recourir aux notions si communes en gnomonique que sont l’inclinaison et la déclinaison.

3 ^ - P. de LA HIRE : Procès-verbaux de l’Académie royale des sciences. Méthode pour faire des cadrans, f. 28v.
4 ^ - P. de LA HIRE : La gnomonique ou l’art de tracer des cadrans. 1682 à Paris
  1. ^ - Méthode de l'Académie : p. 81 - fig. 13
  2. ^ - Méthode similaire pour le centre : p. 64 - fig. 9
  3. ^ - Méthode dérivée de celle de Bosse : p. 67 - fig. 10
  4. ^ - Méthode dérivée de celle du Sieur R.A. : p. 40 - fig. 5
5 ^ - A. VLACQ : Tables des sinus, tangentes, sécantes et de logarithmes, p. 34. 1666 à La Haye.
6 ^ - J. PICARD : Divers ouvrages de mathématique et de physique par Messieurs de l’Académie royale des sciences. De la pratique des grands cadrans par le calcul, p. 347. 1693 à Paris.
7 ^ - D. RIVARD : La gnomonique, ou l’art de faire des cadrans, p. 245 - pl. 2. 1742 à Paris.
8 ^ - P. BLAISE : La gnomonique ou la science des cadrans, p. 52 - planches. 1744 à Paris.
9 ^ - J. de LALANDE: Encyclopédie méthodique de Panckoucke. Mathématiques, tome I. Cadran solaire, p. 243. 1784 à Paris.
10 ^ - D. SAVOIE : Les Cadrans solaires. pp. 81-82. Editions Belin, 2003.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique

Avatar du membre
Yvon_M
Administrateur du site
Messages : 112
Enregistré le : dim. 4 nov. 2018 01:54
Localisation : Pontoise (Île-de-France)
Contact :

Re: 2 points d'ombre

Message : #211 Yvon_M
ven. 2 août 2019 18:00

Dans cette troisième et dernière partie j’aborderai la façon dont j’ai intégré la méthode des 2 points d’ombre dans le programme Calcad que l’on peut télécharger ici. J’ai baptisé ce type de programme « échangiciel » car il est entièrement gratuit d’utilisation mais, si Calcad est utilisé pour réaliser un cadran, je demande en échange une simple photo du cadran réalisé.

C’est la puissance de la méthode des 2 points d’ombre, qui permet de tracer sans distinction tous les types de cadran plan (horizontal, verticaux, inclinés déclinants), et le fait qu’elle ne demande pratiquement aucune donnée d’entrée propre à la gnomonique (position géographique, inclinaison et déclinaison du plan) qui m’a poussé à la moderniser et à l’intégrer dans ce programme à l’attention des débutants, le but étant de leur éviter l’acquisition de connaissances spécifiques et complexes. Les options qui ont été retenues pour le développement de Calcad découlent ainsi de la seule volonté de ne pas faire appel à des notions propres à la gnomonique quand elles ne sont pas nécessaires.

Parmi les mesures modernes qui peuvent être facilement ajoutées au mode opératoire de la méthode des 2 points d’ombre, il y a les heures \(H_1\) et \(H_2\) à l’instant du relevé des 2 points. L’heure, qui était difficilement disponible à l’époque de La Hire, est de nos jours facilement accessible avec la plus grande précision. Il est aussi demandé de saisir la date et, pour être dans le cas le plus général, les dates de chaque relevé, \(j_1\) et \(j_2\), pourront être différentes.

Image

En datant ainsi les instants \(t_1 = j_1 + H_1\) et \(t_2 = j_2 + H_2\) de chaque mesure, nous pouvons en déduire, à l’aide d’éphémérides calculées, les grandeurs suivantes (11) :
  • les déclinaisons \(d_1\) et \(d_2\) du Soleil
  • les équations du temps \(E_1\) et \(E_2\) qui permettent de calculer d’après la formule :
    \(A = 15°\cdot (H_1 – E_1 – H_2 + E_2)\)
    l’angle \(A\) qui correspond à l’angle horaire orienté (\(A\) peut être négatif si, par exemple, \(H_1 > H_2\) avec \(j_1 = j_2\)) entre les positions du Soleil aux instants \(t_1\) et \(t_2\).
Avec les angles \(d_1\), \(d_2\) et \(A\), on peut définir un triangle sphérique aux sommets duquel se trouvent le pôle nord \(N\) et les positions calculées du Soleil \(S’_1\) et \(S’_2\) aux instants \(t_1\) et \(t_2\) comme le montre la figure suivante. Le sens horaire de l’angle \(A\) définit le triangle de façon unique.

Image

Nous avons par ailleurs, avec les 2 points d’ombre, les positions du Soleil \(S_1\) et \(S_2\) sur la demi-sphère céleste qui est vue par le cadran. Il suffit donc de positionner le triangle précédent en faisant coïncider les sommets \(S’_1\) et \(S’_2\) avec les positions \(S_1\) et \(S_2\) pour trouver la place exacte et unique du pôle nord \(N\) sur la sphère et par suite dans le repère du cadran.

Image

En fait, les couples de points \((S_1, S_2)\) et \((S’_1, S’_2)\) n’étant pas obtenus de la même manière, les imperfections de mesure feront que les points ne coïncideront pas exactement. Le principe retenu dans Calcad pour mettre en place le triangle \(S’_1NS’_2\) est de placer l’arc \(S’_1S’_2\) sur le même grand cercle que celui passant par \(S_1S_2\) et de telle façon que les angles \(S_1S’_1\) et \(S_2S’_2\) soient identiques comme indiqué sur la figure suivante.

Image

D’autre part, la valeur absolue de la différence des angles \(S_1S_2\) et \(S’_1S’_2\) fournira un indicateur qui confirmera que la méthode à été appliquée sans erreur si le résultat obtenu est proche de 0. Cette valeur, convertie en minute de temps, est l’« indice de précision » fourni par Calcad.

Enfin, pour mettre en place l’éventail des lignes horaires, le principe qui a été retenu est de considérer les dates et heures saisies comme les grandeurs les plus fiables. C’est donc la position \(S’_1\) qui sera considérée comme la position exacte du Soleil à l’heure \(H_1\). Connaissant par ailleurs l’équation du temps \(E_1\) et la position de l’axe polaire, il est très facile de retrouver la position du soleil moyen à l’heure \(H_1\), d’en déduire sa position pour toutes les heures et, par projection, obtenir toutes les lignes horaires correspondantes. Ces lignes sont celles tracées sur les cadrans modernes auxquelles il suffit d’ajouter l’équation du temps et éventuellement tenir compte du changement d’heure été/hiver pour obtenir l’heure civile.

Reste maintenant la mise en pratique de la méthode, c’est-à-dire la mesure des 2 points d’ombre et le report des lignes calculées sur le cadran. Pour limiter les outillages spécifiques – Calcad s’adresse à ceux qui n’ont jamais construit de cadran – il a été choisi d’effectuer la mesure directement sur le plan du cadran. Pour cela, la place privilégiée du système d’axe est le centre de la surface disponible, la position des points d’ombre n’étant pas connue apriori. On peut en profiter pour tracer alors le contour du cadran, nous disposons ainsi d’un cadre sur lequel nous pourrons définir la position des lignes à longueur indéfinie comme le sont habituellement les lignes horaires.

Les premières lignes à tracer sont donc celle d’un carré ou d’un rectangle dont les dimensions seront renseignées. Du milieu de chaque coté \(X\), \(X’\), \(Y\) et \(Y’\) le système d’axe est tracé et le point origine \(O\) déterminé. Il faut ensuite mettre en place le gnomon outil de pied \(O\) et de hauteur à renseigner.

Image Image

Les positions des 2 points d’ombre, \(P_1\) et \(P_2\), sont alors saisies par leurs coordonnées \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\). En rajoutant l’heure et la date pour chaque point, nous avons ainsi toutes les valeurs nécessaires pour définir entièrement le cadran.

La vue d’écran suivante illustre la façon dont Calcad présente les résultats : un graphique associé à une zone de texte donnant, en plus des résultats chiffrés, quelques indications concernant le type de cadran.

Image

Les points résultats, qui permettent de tracer les lignes du cadran et placer le style, sont indiqués par leurs coordonnées. Toutefois, quand les points sont situés sur le pourtour du cadran (comme le point \(R\) de la figure précédente), ils ne sont définis que par une seule coordonnée, le signe de la seconde coordonnée sera associé à la lettre \(L\) pour indiquer que le point se situe sur la \(L\)imite extérieure. Le style est défini par ses deux extrémités, chaque extrémité par sa position et sa hauteur. Dans le cas d’un cadran à centre, la hauteur du coté du centre n’est pas précisée car par définition elle est nulle.

Dans le principe que nous venons de voir, nous n’avons à aucun moment fait référence à l’horizon ce qui a deux conséquences importantes. La première, qui est surprenante quand on à l’habitude d’utiliser les méthodes classiques de la gnomonique, c’est qu’il n’y a aucune contrainte sur la façon de tracer le repère par rapport à l’horizon. Il peut être incliné sans que cela n’apporte aucun changement dans le mode opératoire.

La seconde est que, parmi les lignes horaires calculées, certaines correspondent à des heures de nuit et ne seront donc pas utiles. Pour que Calcad ne fournisse que les lignes horaires nécessaires, il est prévu plusieurs niveaux, en fonction des informations connues de l’utilisateur, pour introduire la position de l’horizon (12). Celle-ci sera entièrement définie par la connaissance du zénith que Calcad place sur la sphère au-dessus du cadran dont il connaît la position du pôle nord et des cercles horaires.

Image

La première donnée nécessaire est la distance entre le pôle nord et le zénith, elle est obtenue par la saisie de la latitude du lieu. Avec cette seule donnée, Calcad considère que le zénith se situe sur le cercle de 12 heures. L’utilisateur peut cependant préciser ce cercle horaire en donnant soit l’heure du milieu de la journée soit la longitude et le fuseau horaire. Dans ce dernier cas, Calcad prendra en compte le fuseau horaire dans le calcul des éphémérides pour augmenter leur précision.

La position de l’horizon permet aussi d’effectuer la correction de la réfraction. Bien qu’elle soit généralement calculée dans le repère local, sa prise en compte directement dans le repère du cadran se fait sans grande complexité comme on le constatera dans la démonstration suivante qui donne les formules utilisées par Calcad.

Sur la figure suivante, en se plaçant dans le plan contenant l’extrémité du gnomon, le zénith et le Soleil (pour un observateur c’est un plan vertical mais dans le repère du cadran c’est un plan quelconque), on peut tracer les vecteurs \(\overrightarrow{GZ}\) et \(\overrightarrow{GS}\) pointant respectivement vers le zénith et le Soleil. La position du Soleil apparent, conséquence de la réfraction atmosphérique, sera pointée par le vecteur \(\overrightarrow{GS’}\) qui se trouve aussi dans le plan de la figure.

Image

Les vecteurs \(\overrightarrow{GZ}\) et \(\overrightarrow{GS}\) utilisés par Calcad sont des vecteurs unitaires, on peut donc calculer l’angle \(h\) de la hauteur du Soleil sur l’horizon en utilisant le produit scalaire :
\(\overrightarrow{GZ}\cdot\overrightarrow{GS} = x_Z\cdot x_S + y_Z\cdot y_S + z_Z\cdot z_Z = \cos(90°- h) = \sin h\)
De \(h\), la loi de la réfraction nous donne la valeur de la réfraction atmosphérique \(r\). Le vecteur \(\overrightarrow{GS’}\) cherché peut se décomposer de la façon suivante :
\(\overrightarrow{GS’} = \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{IS’}\)
\(\overrightarrow{GS’} = m\cdot\overrightarrow{GS} + n\cdot\overrightarrow{GZ}\)
\(m\) et \(n\) sont des valeurs inférieures à 1, elles sont obtenues par les relations suivantes :
\(m = \frac{GJ}{\cos h} = \frac{\cos (h + r)}{\cos h}\)
et d’après le détail autours des points \(S\) et \(S'\) :
\(n = \frac{S’K}{\cos h} = \frac{\sin r}{\cos h}\)

Calcad fonctionne sur Windows, Linux et Mac OS X, il dispose aussi de fonctionnalités avancées parmi lesquelles on peut notamment citer :
  • Configuration des lignes à tracer dont les courbes en demi-huit et les arcs diurnes
  • Modification de la position et de la grandeur du style de façon interactive
  • Sauvegarde / impression des données et du graphique
  • Visualisation et animation de l’ombre
  • Définition d’un cadran suivant la méthode classique (inclinaison / déclinaison)
  • Export du tracé au format dxf
  • Aide contextuelle complète avec manuel d’utilisation
  • Calculs spécifiques pour gnomonistes avertis avec le raccourci clavier Ctrl+Y et en fonction des valeurs de la boîte de saisie (cette fonction n’est pas documentée, elle donne essentiellement les valeurs des éphémérides calculées et la mesure de l’orientation d’un plan par un seul point d'ombre)
Cet exposé ce termine ici. Je vous laisse le soin de découvrir par vous-même toutes les possibilités de Calcad. Bien sûr, si certains points ne vous semblent pas évidents, n’hésitez pas à demander des éclaircissements.

11 ^ - Un calcul précis demande la connaissance du temps universel qui ne peut être déterminé qu’avec la valeur du fuseau horaire. L’absence de cette valeur permet toutefois d’obtenir une précision acceptable, l’erreur la plus importante provenant du calcul des déclinaisons aux équinoxes pour les pays éloignés du méridien de Greenwich. Elle n’excède pas 1/4 de degré sur la position du pôle nord ce qui se traduit par une erreur d’environ 1/2 minute à la lecture du cadran.

12 ^ - L’horizon étant facultatif, il n’est pas nécessaire de définir sa position avec précision.
Yvon Massé - Site perso. : La gnomonique