L’anneau horaire à trous fixes

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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L’anneau horaire à trous fixes

Message : #437 Yvon_M
dim. 26 avr. 2020 08:42

Suite aux échanges sur le fil anneaux de paysan où, à la demande d’Eric_M, quelques références bibliographiques sur ce sujet ont été proposées, il a été mis en lumière que le type d’anneau horaire qui, de la Renaissance à nos jours, semble avoir été le plus connu et le plus fabriqué est un anneau à trou mobile et, de nos jours particulièrement, à échelle horaire unique. Malgré qu’il a été admis que cet anneau n’était pas d’une grande précision (1), les aléas de l’histoire ont fait qu’un autre type d’anneau comportant deux trous fixes n’a pas connu le même succès, bien qu’il apportait une plus grande rigueur. Ceci est d’autant plus regrettable que l’étude de son tracé et la méthode pour l’obtenir relève de plusieurs astuces particulièrement ingénieuses qui méritent d’être soulignées et connues. Aussi je vous propose, dans les lignes qui suivent, d’illustrer à partir de figures géométriques simples les principes sur lesquels reposent ces astuces.

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Anneau horaire de 1736. Collection online du British Museum

La description du tracé de cet anneau semble avoir été imprimée pour la première fois en 1531 par Munster (2) puis pratiquement en même temps dans la Protomathésis d’O. Finé (3). C’est de ce cours en latin que de Sainte-Marie-Magdeleine reprit la matière qu’il inséra en français dans son Traité d’horlogiographie, au moins à partir de l’édition de 1657 (4).

Voici la figure telle qu’on peut la trouver dans ce traité. Elle correspond à l’anneau déplié et elle comporte aussi les lignes propres à la procédure du tracé. Cette procédure sera détaillée au fur et à mesure de la présentation des astuces.

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Figure 1

La première astuce repose sur une propriété du cercle. Sur la figure suivante où est représenté l’anneau \(\mathrm{OAB}\), \(\mathrm{O}\) est la position du trou qui peut être quelconque, \(\mathrm{A}\) la position de la tache de lumière quand le Soleil est sur l’horizon et \(\mathrm{B}\) quand le Soleil est à une hauteur \(h\). L’angle des points \(\mathrm{A}\) et \(\mathrm{B}\) vu depuis le centre \(\mathrm{C}\) fait deux fois la hauteur du Soleil.

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Figure 2

Cette propriété, qui peut sembler assez surprenante, peut se démontrer très facilement en divisant l’angle \(h =\mathrm{\widehat{AOB}}\) en deux parties par le diamètre \(\mathrm{OO’}\) et en refaisant deux fois le constat suivant sur les parties \(\mathrm{OAO’}\) et \(\mathrm{OBO’}\) :
En considérant le triangle \(\mathrm{OCA}\) qui est isocèle car \(\mathrm{CO} = \mathrm{CA} = R\), les angles en \(\mathrm{O}\) et en \(\mathrm{A}\) sont donc identiques, nous les appellerons \(\alpha\). Quant à l’angle en \(\mathrm{C}\) qui est égal à \(180–\alpha –\alpha\), il est aussi égal à \(180 – \beta\). D’où \(\beta = 2\alpha\)

La propriété \(\mathrm{\widehat{ACB}} = 2h\) est particulièrement intéressante car quand l’anneau sera déplié, la grandeur angulaire de hauteur pourra être appliquée sur une échelle linéaire. Cette échelle est d’ailleurs la droite \(GH\) de la figure 1, elle est graduée de 0 à 90° et sa longueur correspond à la moitié de l’anneau déplié.

La seconde astuce concerne la relation entre la hauteur et la déclinaison du Soleil qui est assimilée à une relation linéaire et est ainsi représenté par une droite sur le tracé de l’anneau déplié.

Sur la sphère céleste représentée à la figure 3 suivante, considérons un cercle horaire \(\mathrm{PSM}\) quelconque, d’angle horaire \(H\) et sur lequel se situe le Soleil \(\mathrm{S}\). \(\mathrm{M}\) est l’intersection du cercle horaire et de l’équateur. Intéressons nous au triangle \(\mathrm{SQM}\) délimité par le cercle horaire, l’almicantarat du Soleil et le vertical du point \(\mathrm{M}\).

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Figure 3

L’angle en \(\mathrm{Q}\) est droit. \(\mathrm{SM}\) est la déclinaison du Soleil \(d\) et \(\mathrm{QM}\) est la différence entre la hauteur du Soleil \(h\) et \(h_0\), \(h_0\) étant la hauteur du Soleil à l’équinoxe pour le même angle horaire. \(\mathrm{SQM}\) étant relativement petit, nous pouvons l’assimiler à un triangle plan avec lequel nous pouvons écrire :
\(h-h_0\simeq\cos\alpha\cdot d\)
Le triangle sphérique \(\mathrm{PZM}\) nous fournit par ailleurs les relations suivantes :
\(\tan\alpha =\frac{\sin H}{\tan\phi}\)
\(\sin h_0=\cos \phi\cdot\cos H\)

On peut bien sûr tirer la seconde relation de la relation fondamentale :
\(\sin h=\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H\)
qui, elle, découle du triangle sphérique \(\mathrm{PZS}\).

Notons qu’avec le calcul différentiel, outil mathématique plus récent, on peut aussi obtenir la proportion entre \(h – h_0\) et \(d\) à partir de la formule fondamentale. En dérivant la hauteur par rapport à la déclinaison, on obtient :
\(\frac{\partial h}{\partial d}=\frac{\cos d\cdot\sin\phi-\sin d\cdot\cos\phi\cdot\cos H}{\sqrt{1-(\sin d\cdot\sin\phi+\cos d\cdot\cos\phi\cdot\cos H)^2}}\)
Cette dérivée nous donne pour \(d = 0\) :
\(h-h_0\simeq\frac{\sin\phi}{\sqrt{1-\cos^2\phi\cdot\cos^2 H}}\cdot d\)

Voyons maintenant si nos relations approchées permettent une approximation sérieuse. Sur le graphique suivant sont représentées, pour les heures entières de jour à la latitude de 45°, en bleu la droite correspondante à la relation approchée et en rouge la courbe de hauteur réelle.

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Ce n’est pas si mal ! Et nous allons voir que les choses ont été encore améliorées avec la troisième astuce. L’idée est simplement de couper le graphique précédent en deux, verticalement et par son milieu, et de placer chaque partie en vis à vis sur l’anneau qui est percé d’un second trou, en \(\mathrm{A}\) sur la figure 2 du début. Cela permet d’une part d’utiliser au mieux la surface concave de l’anneau et d’autre part de limiter la variation de la déclinaison. Par ailleurs, la procédure ne demande pas de tracer une tangente pour \(d = 0\), mais de relier les points des hauteurs du Soleil pour les solstices et les équinoxes. Les hauteurs sont extraites d’une table d’une petite trentaine de valeurs pour une latitude donnée. On obtient ainsi le graphique suivant avec, comme précédemment, en bleu les droites du tracé et en rouge les courbes réelles de hauteur. On peut constater une réduction conséquente de l’erreur.

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Cependant la déclinaison n’est pas une grandeur facile à utiliser dans l’usage courant et on préfère se référer au calendrier. L’utilisation du calendrier zodiacal permet toutefois une alternative intéressante : il est plus proche des événements solaires car il est directement relié à la longitude du Soleil sur l’écliptique. Nous allons voir que ce choix permet de mettre en place une nouvelle astuce.

La figure 4 suivante représente l’hémisphère nord de la voûte céleste. \(\mathrm{P}\) est le pôle nord et \(L\) la longitude qui est mesurée à partir de \(\gamma\), point où le Soleil est situé à l’équinoxe de printemps. \(\epsilon\) est l’obliquité de l’écliptique dont la valeur est environ 23,5°.

La déclinaison correspond à l’angle \(\mathrm{SM}\). On peut toutefois obtenir une valeur approchée de cet angle par la portion de cercle \(\mathrm{SM’}\). Le cercle correspondant serait décrit par le soleil si on faisait tourner le plan de l’écliptique autour de l’axe \(\gamma\gamma’\). Son centre est donc le point \(\mathrm{Q}\) et son rayon est \(\sin L\). Comme \(d = \epsilon\) quand \(L = 90°\), on en déduit :
\(d\simeq\mathrm{SM'} = \epsilon\cdot\sin L\)

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Figure 4

La valeur exacte de la déclinaison est donnée par le triangle sphérique \(\gamma\mathrm{MS}\) dont l’angle en \(\mathrm{M}\) est droit :
\(\sin d=\sin\epsilon\cdot\sin L\)

Sur le graphique suivant, la courbe approximative est tracée en bleu et la courbe réelle en rouge. La différence maxi est de l’ordre du quart de degré.

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C’est le principe de cette approximation qui est utilisée pour tracer les lignes des signes. En effet, la procédure demande de tracer deux quarts de cercle aux extrémités de l’anneau déplié qu’il faut ensuite diviser en 3 parties égales pour les 3 signes d’une saison. Les points de division de chaque quart de cercle sont alors reliés par des droites qui représentent l’entrée dans les signes.

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Figure 5

La largueur \(l\) de l’anneau correspond à la déclinaison maxi \(\epsilon\). Pour une longitude \(L\) (60° sur la figure 5), la ligne de signe correspondante (l’entrée dans les Gémeaux, le Lion, le Sagittaire et le Verseau sur la figure) est située à la distance \(l\cdot\sin L\) de la droite des équinoxes, ce qui correspond bien à la valeur approchée de la déclinaison \(\epsilon\cdot\sin L\) que nous avons établie plus haut.

Sur la figure 6 suivante, qui a été réalisée conformément à la procédure, la hauteur réelle du Soleil est superposée en rouge. On constate que l’utilisation de la déclinaison approchée permet d’atténuer l’erreur sur certaines lignes horaires tous en l’augmentant pour d’autres mais en conservant globalement une erreur plus qu’acceptable pour un petit cadran de poche.

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Figure 6

Nous verrons toutefois dans une prochaine publication qu’il existe une erreur plus importante dans le principe de cet anneau. Nous mettrons en place les relations pour la calculer et nous évaluerons les conditions permettant de rester dans des limites raisonnables de précision. Nous verrons aussi comment une réalisation du XVIIIe siècle a mis en place une solution originale pour limiter cette erreur de façon satisfaisante.

1 ^ - J. OZANAM / GRANDIN : Récréations mathématiques et physiques. Tome II p. 120 - planche 16 et 17. 1723 à Paris
2 ^ - S. MUNSTER : Compositio horologiorum p. 155. 1531 à Bâle
3 ^ - O. FINE : Protomathesis fo. 184. 1532 à Paris
4 ^ - P. de SAINTE-MARIE-MAGDELEINE : Traitté d’horlogiographie p. 158 - planche 32. 1657 à Paris
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Eric_M
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #449 Eric_M
mar. 28 avr. 2020 18:20

Merci Yvon, je n'avais pas conscience qu'il y avait autant d'approximations successives dans le tracé de l'anneau, c'est très impressionnant !
C'est aussi très intéressant, car l'astuce du cercle pour transformer l'échelle linéaire des déclinaisons en calendrier du zodiaque est utilisée ailleurs par les auteurs de cette époque. Par exemple pour la volvelle d'Apian ou pour le cadran de Régiomontanus. En tout cas dans les interprétations qu'en fait Oronce Fine en 1532 , qui semble être le premier à nous donner la méthode pour dessiner ces cadrans qui, comme l'anneau, sont des cadrans de hauteur.

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Yvon_M
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #465 Yvon_M
jeu. 7 mai 2020 22:21

Eric, le quart de cercle pour obtenir la déclinaison est en fait une partie du cercle appelé « menaeus » connu depuis l’antiquité. Il permet d’obtenir l’angle de la déclinaison par une procédure graphique rigoureuse mais qui connaît aussi des variantes simplifiées et approchées, comme ici. Oronce Fine, comme d’autres le feront après lui, utilise la variante approchée notamment pour le cadran de Regiomontanus, ce que Clavius lui reprochera en parlant de « error orontii » (5).

Pour revenir à l'anneau à trous fixes, l’erreur que nous n’avons pas encore prise en compte provient, vous l’avez certainement déjà compris, du fait qu’on ne peut pas négliger la largeur de l’anneau par rapport à son diamètre. Dans l’explication de la première astuce nous avons effectivement raisonné dans le plan de l’anneau sans prendre en compte sa réelle largeur. Celle-ci fait qu’en réalité le rayon de lumière est « en biais » quand il doit éclairer la partie des courbes horaires proche des équinoxes ou des solstices.

L’erreur introduite par ce biais s’évalue difficilement par des considérations géométriques, aussi nous aurons recours aux relations trigonométriques pour la quantifier.

Soit \(\mathcal{P}\) le plan perpendiculaire à l’axe de l’anneau et passant par ses trous, \(\mathcal{P}\) est en fait le plan sur lequel était dessinée la figure 2 et sur lequel est dessinée la figure 7 suivante. Nous considérerons 2 rais de lumière. Le premier sera le rai réel, celui qui part du trou et qui vient éclairer un point de la date concernée à la distance \(e\) du plan \(\mathcal{P}\). Le second rai sera le rayon projeté perpendiculairement sur le plan \(\mathcal{P}\), celui qui fait l’angle \(h\) avec l’horizon. Cherchons sa longueur \(\mathrm{OB}\) en fonction de l’angle \(h\). Pour cela, il nous faut tenir compte de l’angle \(\theta\) qui défini la position du trou \(\mathrm{O}\). Si on divise le triangle isocèle \(\mathrm{OCB}\) en 2 parties égales par la hauteur \(\mathrm{CH}\), on trouve facilement :
\(\mathrm{OB} = 2R\cos(h-\theta)\)

Image
Figure 7

Soit \(h_r\) la hauteur réelle du Soleil correspondant à la hauteur projetée \(h\), on peut écrire :
\(y = \mathrm{OB}\cdot\sin h = \sqrt{\mathrm{OB}^2 + e^2}\cdot\sin h_r\)
\(\sin h = \sqrt{1 + (e/OB)^2}\cdot\sin h_r\)
\(\sin h = \sqrt{1 + (e/2R\cos(h-\theta))^2}\cdot\sin h_r\) [1]
Et en regroupant les grandeurs \(h\) et \(h_r\) de chaque côté de l’égalité on obtient :
\(\sin h_r = \frac{\sin h}{\sqrt{1 + (e/2R\cos(h-\theta))^2}}\)

Ce n’est toutefois pas la relation dont nous avons besoin. En effet, partant de la hauteur réelle du Soleil \(h_r\), nous souhaiterions connaître la valeur \(h\) pour la reporter sur l’anneau déplié mais, malheureusement, cette relation est difficilement réversible. On peut toutefois recourir à une astuce simple qui consiste à calculer la suite de valeur \(u_n\) à partir de la relation [1] et telle que :
\(u_0 = h_r\)
\(u_{n+1} = \sqrt{1 + (e/2R\cos(u_n - \theta))^2}\cdot\sin h_r\)
Cette suite converge très rapidement vers \(h\), 3 itérations sont largement suffisantes.

Quant à la valeur de \(\theta\), qui en principe peut être quelconque, elle est définie par la procédure graphique qui place le midi du solstice d’été juste au milieu de l’anneau déplié. Dans ce cas, sa valeur est donc de :
\(90° + \theta = 2(90° – \phi + \epsilon)\)
\(\theta = 90° – 2(\phi - \epsilon)\)

Nous sommes maintenant en mesure de dessiner l’anneau déplié avec la véritable position de la tache de lumière afin d’évaluer l’erreur apporté par ce cadran de hauteur tel qu’il est défini par la procédure. Nous le ferons pour la latitude de 45° avec différents rapports diamètre/largeur de l’anneau afin d’évaluer à partir de quel rapport cette erreur est acceptable.

Image
Figure 8

Sans surprise, on constate facilement que l’erreur la plus importante se produit à midi au solstice d’été et dans une moindre mesure aux équinoxes.

En grossissant cette partie pour mieux voir les détails, on conclura que le diamètre de l’anneau doit au moins être de 4 à 5 fois sa largeur pour que l’erreur soit acceptable. La contrepartie est que les lignes d’heure sont plus inclinées et ce que l’on gagne sur la précision en hauteur est perdu dans l’appréciation de la position sur le calendrier.

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Figure 9

Il existe toutefois une alternative qui a été utilisée sur un anneau du XVIIIe siècle conservé au musée des Art et Métier, sous la référence 8430, pour obtenir un compromis très intéressant.

Image
Crédit photo : musée des Arts et Métiers

L’anneau a été percé de 2 fois 3 trous et il convient simplement d’utiliser la tache lumineuse du trou le plus près de la date concernée. La largeur effective est ainsi divisé par 3. Sachant que le rapport diamètre/largeur de cet anneau est d’environ 2,5, le rapport effectif est donc de 7,5, ce qui permet ainsi de réduire considérablement l’erreur introduite par le biais du rayon lumineux. La figure suivante montre, en rouge, la position réelle de la tache de lumière par rapport à la gravure en supposant que cet anneau soit tracé pour la latitude de 45°. La correspondance est plus qu’acceptable.

Image
Figure 10

À l’aide d’une table des hauteurs du Soleil aux solstices et à l’équinoxe ainsi qu’une procédure de réalisation relativement simple, on obtient donc un véritable instrument gnomonique qui mérite largement d’être aussi connu que son homologue à trou mobile.

5 ^ - C. CLAVIUS : Gnomonices p. 637. 1581 à Rome
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Eric_M
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #468 Eric_M
mer. 13 mai 2020 08:35

Merci encore pour toutes ces précisions

Sur le plan historique, j'ai trouvé une figure, dans
Andreas Schöner - 1562 "Gnomonice Andreae Schoneri Noribergensis"
avec notamment la légère incurvation vers les bords

anneau de Schoner 1562.jpeg
anneau de Schoner 1562.jpeg (205.47 Kio) Vu 2005 fois


voir
https://archive.org/details/gri_3312500 ... 2/mode/2up
Attention, beaucoup des versions sur le Web de cet ouvrage sont amputées des planches..

Stéphane_L
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #473 Stéphane_L
mer. 13 mai 2020 22:58

Très bel exposé en effet. Clair et bien détaillé (avec des illustrations biens explicites). Ça me donne des idées...

J'ai cliqué sur le lien proposé par Eric, et en dessous du premier anneau déplié, il y en a un deuxième.
Pour le premier, l'incurvation vers les bords provient de l'erreur due au diamètre de l'anneau (voir 2ème message d'Yvon).
Par contre pour le deuxième, j'ai du mal à comprendre la courbure des lignes...
Anneau.png
Anneau.png (151.87 Kio) Vu 1960 fois

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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #475 Yvon_M
jeu. 14 mai 2020 16:54

Eric_M a écrit :Attention, beaucoup des versions sur le Web de cet ouvrage sont amputées des planches…

… ou, comme pour cette numérisation, elles sont insérées dans le texte. Ce qui par ailleurs permet de situer l’endroit où le sujet est traité (c’est là qu’on regrette de ne pas avoir quelques notions de latin).

C’est donc au folio LXXXIII que Schöner introduit cet anneau en faisant référence à O. Fine et S. Munster (c’est dans la première ligne, sinon je ne l’aurais certainement pas vu car je suis rapidement passé aux figures). Schöner semble ensuite s’atteler à la détermination de l’effet « rayon en biais » par une technique géométrique similaire à la géométrie descriptive (figure au recto du folio LXXXIII, l’angle \(\theta\) est de 40°). Visiblement il obtient, au recto du folio LXXXIIII, un abaque permettant déterminer la position du point lumineux en fonction de la hauteur du Soleil et de la distance par rapport au plan central de l’anneau. Cet abaque permet ensuite de tracer l’anneau en prenant en compte l’effet de bais.

À partir de la figure qu’Éric nous a fait partager, j’ai déterminé un rapport \(\phi/lg\) d’environ 2,25. D’autre part la latitude à laquelle est destiné l’anneau est clairement indiquée : 49°27’. J’ai donc pu tracer les courbes horaires que j’ai superposées sur la figure, voici le résultat :

Image

Il y a effectivement une bonne correspondance.

Stéphane, au sujet de la seconde figure, la seule différence concerne la façon dont les signes sont répartis. Sur l’axe vertical on n’a plus ici la déclinaison mais directement la longitude du Soleil ce qui modifie la forme des courbes pour obtenir celles de ce cadran plan conservé au Musée de la Vie wallonne à Liège.

Image
Cadran de hauteur plan. Collection en ligne du Musée de la Vie wallonne
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Stéphane_L
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #476 Stéphane_L
jeu. 14 mai 2020 19:38

Ah d'accord. Merci.
Je n'avais pas remarqué l'égalité des longueurs des rectangles contenant les signes.

Stéphane_L
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Re: L’anneau horaire à trous fixes

Message : #478 Stéphane_L
sam. 23 mai 2020 00:15

Avec la méthode (premier message) :
Yvon_M a écrit :Par ailleurs, la procédure ne demande pas de tracer une tangente pour, mais de relier les points des hauteurs du Soleil pour les solstices et les équinoxes. Les hauteurs sont extraites d’une table d’une petite trentaine de valeurs pour une latitude donnée...

Je n'ai pas pu m'empêcher de visualiser l'anneau sous toutes les latitudes avec GeoGebra : anneau de paysan.
Mais je viens de me rendre compte d'une erreur, le cadran est imprécis, voir carrément faux, pour les latitudes subtropicales. Par exemple la ligne de midi n'est plus un segment pour les latitudes comprises entre -23.44° et 23.44°, mais une ligne brisée (le soleil n'atteint plus la hauteur maximale à midi au solstice d'été (ou d'hiver pour les latitudes négatives)). Dommage...
J'aurais bien voulu voir l'allure d'un anneau à trous fixes à la latitude 11.72°.