Méthode graphique de J. H. Lambert

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #69 Yvon_M
lun. 3 déc. 2018 22:25

Puisque la méthode de l’« oval pointu » a suscité un certain intérêt, j’ouvre un nouveau sujet sur la méthode de remplacement qu’a proposée J. H. Lambert et que j’ai évoquée dans ce message. Elle a l’intérêt d’être parfaitement rigoureuse.

Dans un premier temps, je la présenterai en l’adaptant légèrement pour qu’on puisse faire le lien avec le sujet « Recherche concernant une méthode graphique originale », je reprendrai notamment la notion de distance introduite par Gérard. Je donnerai ensuite la traduction du texte de Lambert. Enfin, dans un second message, j’apporterai des commentaires et éclaircissements sur la démonstration proposée.

Voici donc la description adaptée : à partir du cercle de rayon R = GH, Lambert place le centre du cadran à la distance GE = R.cos(lat). Ensuite il gradue ce cercle non pas avec des intervalles égaux mais à l’aide d’un second cercle qui passe par le point H et qui a pour centre E. C’est ce dernier cercle qui est divisé en parties égales et, à partir du point P obtenu avec la bissectrice de l’angle GHE, les lignes tracées jusqu’aux divisions du second cercle permettent de graduer le premier. Les lignes horaires sont ensuite tracées comme dans la méthode de l’« oval pointu ».

Image

Voici maintenant comment J. H. Lambert présente cette méthode :

§ 43 Fig. XV
Que l’on trace donc le cercle HDM, ainsi qu’à l’intérieur les deux diamètres HM et VD, perpendiculairement. Partager ensuite le cercle HDM en 24 sections égales représentant les heures. Que l’on donne ensuite à VDC la hauteur de la ligne d’équateur, et à VDP la moitié de cette hauteur. Décrire ensuite le cercle ADE de centre C, passant par D. Tirer à partir de P des lignes aveugles vers chaque heure du cercle HDM, puis tirer à partir de V des lignes rejoignant les endroits où les lignes aveugles et le cercle ADE se coupent: ces lignes figureront les lignes des heures du cadran solaire horizontal pour la hauteur du pôle figurée par DCV.

Image

§ 44
Le schéma est une projection de la sphère sur l’horizon. HDM est l’horizon, ADE l’équateur, P le pôle, V le zénith, VF un cercle vertical, DG l’arc des heures sur l’équateur, ou le temps à partir de midi transformé en degrés, GDF est la hauteur de l’équateur. Parce que le triangle DFG est rectangle en F, il en découle la formule suivante :
cos GDF = cot DG.tang DF
DF est donc l’arc des heures, ou DVF est l’angle des heures pour le cadran solaire horizontal. Les lignes aveugles PG n'ont d'autre fonction que celle de diviser la ligne d'équateur ADE en degrés selon les règles de la projection.
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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #72 Yvon_M
ven. 7 déc. 2018 23:42

La démonstration de Lambert est pour le moins sommaire. J. de Castillon qui a reporté cette méthode dans les Suppléments de l’Encyclopédie Diderot vol 2, p. 97 points 4 à 10 (les figures correspondantes se trouvent ici et ) en a donné plus de détails mais avec quelques erreurs. De plus, en le relisant bien, on n’est pas convaincu qu’il ait tout compris et globalement il apporte plus de confusion que d’éclaircissement. Je reprendrai donc la démonstration de Lambert en lui ajoutant quelques précisions qui faciliteront la compréhension :

La figure, dit-il, est une projection de la sphère sur l’horizon. HDM est l’horizon, ADE l’équateur, P le pôle, V le zénith, […] Comme la projection de l’horizon et de l’équateur sont des cercles nous avons affaire à une projection stéréographique, sachant de plus que le zénith est au centre de l’horizon, cela signifie que l’œil est placé au nadir, P est donc le pôle nord si on se situe dans l'hémisphère nord. On supposera de plus que l’on regarde la projection du dessus, ainsi le point D correspond à l’est. La façon de trouver le centre C du cercle projeté de l’équateur et la position du pôle P découle des propriétés de la projection stéréographique.

[…] VF un cercle vertical, […] Comme ce cercle passe par le nadir, sa projection est une droite, ou un diamètre du cercle HDM si on se limite à la partie au-dessus de l’horizon.

[…] DG l’arc des heures sur l’équateur, ou le temps à partir de midi transformé en degrés, […] Là, il y a une petite subtilité qui prendra tout son sens à la ligne suivante : on considère que l’angle horaire est reporté sur l’équateur à partir de l’est.

[…] GDF est la hauteur de l’équateur. Parce que le triangle DFG est rectangle en F, il en découle la formule suivante :
cos GDF = cot DG.tang DF

[…]
Dois-je l’avouer ? J’ai connaissance de cette méthode depuis de nombreuses années et j’ai toujours buté sur ce point. C’est récemment que j’ai compris qu’il fallait considérer le triangle DFG sur la sphère ! Ce triangle est donc sphérique et délimité par l’horizon, l’équateur et un vertical. La relation énoncée par Lambert nous est fournie sans ambiguïté par le moyen mnémotechnique du pentagone de Neper. Si nous remplaçons donc GDF par (90 – lat) et DG par H, nous obtenons :
cos(90 – lat) = cot H.tan DF
ou encore, ce qui est plus parlant :
tan DF = sin lat.tan H

[…] DF est donc l’arc des heures, ou DVF est l’angle des heures pour le cadran solaire horizontal. […] Bien sûr, mais sans le développement précédent ce n’est pas de la première évidence ! Il faut toutefois remarquer que l’est de la projection deviendra le nord du cadran.

[…] Les lignes aveugles PG n'ont d'autre fonction que celle de diviser la ligne d'équateur ADE en degrés selon les règles de la projection.
Là encore Lambert fait appel à une propriété de la projection stéréographique. Celle-ci était bien connue des astrolabistes qui l’ont utilisée pour graduer l’écliptique comme on peut le lire dans le traité de J. Stöffler, p. 30v.
J’ai cherché sa démonstration sur Internet pour illustrer ce message sans la trouver. Elle est proposée par R. d’Hollander dans son livre L’Astrolabe – Histoire, théorie et pratique. En voici les grandes lignes :
Considérons le segment NZ’ (pôle nord – nadir de la sphère). L’intersection du plan médiateur de ce segment avec la sphère est le grand cercle bissecteur de l’horizon et de l’équateur, il passe par les points est et ouest. Par symétrie, tout petit cercle qui passe par les points N et Z’ coupe ce cercle à angle droit et les cercles de l’équateur et de l’horizon à égale distance des points est ou ouest. La projection de ces petits cercles sont des droites passant par la projection P du pôle nord. Ces droites permettent donc, au niveau de la projection, de reporter sur l’équateur les angles de l’horizon.

Merci aux internautes qui ont eu le courage de me lire jusqu’ici. Si certains points restent obscurs, n’hésitez pas à demander des précisions.
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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #74 Henri_G
dim. 9 déc. 2018 23:17

Après maints calculs laborieux et à partir de la figure de Lambert, projection sur le plan, on peut effectivement arriver à vérifier que la méthode est rigoureuse (mais bonjour les sinus, cosinus et tangentes et équation du second degré).
L'approche géométrie pure ou l'approche géométrie analytique ont de quoi décourager le gnomoniste débutant. Il vaut mieux utiliser cette méthode sans chercher à la justifier.... d'autant plus qu'il existe d'autres méthodes graphiques beaucoup plus faciles à comprendre.

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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #77 Yvon_M
lun. 10 déc. 2018 23:27

Il y a toutefois certains cas où l’approche par la géométrie pure permet des raccourcis intéressants. Je l’ai encore constaté lorsque je recherchais les propriétés de la projection stéréographique et quand j’ai trouvé ce texte :
http://www.numdam.org/article/AMPA_1825-1826__16__322_1.pdf

Aucune formule, aucune figure et la démonstration la plus élégante que j’ai trouvée sur le fait que cette projection est conforme, que la projection d’un cercle est un cercle et la façon de trouver le centre du cercle projeté. Je recommande vivement la lecture de ce court texte à qui s’intéresse aux propriétés de la projection stéréographique.
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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #79 Henri_G
sam. 15 déc. 2018 17:47

Belle performance que d'expliquer les propriétés de la projection stéréographique sans faire un seul dessin.

Pour ma part, je suis tombé sur un article qui m'a fait comprendre beaucoup de choses :

http://gnomonique.fr/gnomon/hori2prc.htm

Pour expliquer le cadran de Oughtred, on peut difficilement faire mieux (Merci !)

Henri_G
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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #80 Henri_G
sam. 15 déc. 2018 18:14

Méthode graphique proposée par Yves Guyot pour tracer un cadran vertical plein Sud

Yves Guyot est un cadranier professionnel qui a conçu un de ces petits guides sous forme de livrets de 8 pages que l'on trouve sur les aires d'autoroute. Il y décrit une méthode graphique pour tracer un cadran vertical plein Sud, méthode que l'on peut facilement adapter pour un cadran horizontal (90° - latitude --> latitude) :

http://cadrans-solaires-yves-guyot.e-monsite.com/

Ci-joint, la reproduction de deux pages de ce livret :
CS-YG1-p.jpg
CS-YG1-p.jpg (164.24 Kio) Vu 17 fois

CS-YG2-p.jpg
CS-YG2-p.jpg (160.5 Kio) Vu 17 fois


C'est un petit peu plus facile que la méthode de J.H. Lambert.

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Re: Méthode graphique de J. H. Lambert

Message : #82 Yvon_M
dim. 16 déc. 2018 00:42

Oui, il y a de nombreuses méthodes graphiques pour tracer les cadrans. Nos amis américains en ont répertorié un bon nombre sur cette page :
https://en.wikipedia.org/wiki/Schema_for_horizontal_dials

Bien que la méthode de Lambert ne soit pas citée, il en est mentionné une similaire publiée par Leybourn en 1669. Je suis en train de mettre en forme une petit texte pour expliquer son principe, il fera l’objet d’un nouveau sujet.
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