Recherche concernant une méthode graphique originale

Quand on parle gnomonique, sinus et cosinus ne sont pas des gros mots.
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Yvon_M
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Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #6 Yvon_M
dim. 4 nov. 2018 10:34

Lors de la réunion de la CCS d'octobre 2016, Francis Tamarit nous a présenté un manuscrit écrit par un auteur inconnu. Éric Mercier et moi avons recherché les sources auxquelles avait puisé l’auteur et nous en avons identifié un certain nombre sans difficulté : des grands classiques de la gnomonique publiés entre la fin du XVIe et le début du XVIIIe siècle. Toutefois, il y a un détail sur lequel nous avons buté et je fais appel à vos lectures pour essayer d’avancer sur ce point.
L’auteur propose la méthode suivante pour tracer un cadran horizontal. L'arc de cercle GH a pour centre le point F, l'arc FH le point G. Ces 2 arcs sont divisés en 6 parties égales pour obtenir les points I, K, L, M et N. Les lignes horaires sont tirées des points obtenus au point E, centre du segment FG.

pointu.jpg
pointu.jpg (50.19 Kio) Vu 244 fois

L’analyse montre que le résultat obtenu est relativement correct pour les latitudes proches de 47°.
Sauriez-vous dans quel ouvrage l’auteur du manuscrit aurait pu trouver cette méthode ?
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Henri_G
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #12 Henri_G
lun. 12 nov. 2018 07:51

Il y a quelques imprécisions dans la description de la méthode. Comment sont choisis les points G (et donc F) et H ? En admettant que la méthode soit correcte, de ce choix dépend peut-être la latitude pour laquelle le cadran est correct ?
Sinon pas de réponse à la question.

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Yvon_M
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #15 Yvon_M
lun. 12 nov. 2018 20:53

En principe tous les éléments donnés permettent de tracer la figure, F et G pouvant être des points quelconques et H étant l'intersection des arcs de cercle. J'ai préféré le présenter ainsi pour faire plus court.

En pratique la figure est tracée sur le véritable cadran et l'auteur du manuscrit propose de commencer par tracer les droites AB et CD perpendiculaires entre elles et parallèles aux côtés du cadran. Puis de part et d'autre de l'intersection E et à même distance, on détermine les points F et G.

C'est en fait une méthode approchée qui peut se décliner pour différentes latitudes avec un mode opératoire un peu plus complexe mais l'auteur du manuscrit n'y fait pas allusion. De plus, comme nous avons remarqué que son manuscrit était pratiquement recopié mot pour mot sur des oeuvres imprimées, nous avons supposé qu'il en était de même pour cette partie, mais ce n'est qu'une supposition... Autre indication, cette partie est intitulée : Décrire le même par l'oval pointu. 'Le même' signifie 'le cadran horizontal'.
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Henri_G
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #16 Henri_G
lun. 12 nov. 2018 22:42

Si le triangle FGH est équilatéral comme le suggère la photo, les heures indiquées par ce cadran seraient correctes si à 7h le matin on est à la latitude de 48,4°N, si à 8h on est à la latitude de 47,9°N, si à 9h on est à 47,1°N, si à 10h on est à 45,8°N et si à 11h on est à 44,0°N.
A midi, on peut être n'importe où, mais l'après-midi, il faut faire le trajet inverse ..... 500 km aller et 500 km retour quand même !

Je comprends mieux pourquoi l'auteur d'une telle méthode est resté discret. :D

Henri_G
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #17 Henri_G
mar. 13 nov. 2018 18:11

En fait, j'ai été un peu négatif dans le post précédent.

Le dessin ci-dessous permet de comparer les résultats donnés par cette méthode et le tracé exact des lignes horaires du cadran horizontal pour la latitude de 47°N.

Les résultats ne sont pas si mauvais. Par contre, personnellement, je ne vois pas le lien entre cette méthode et la gnomonique. Si on pouvait m'expliquer ! Merci d'avance !
Fichiers joints
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Yvon_M
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #26 Yvon_M
mer. 14 nov. 2018 22:41

B’en ça parle un petit peu de cadran solaire non ? ;)

Même si ce n’est qu’une méthode approchée, c’est une méthode à part entière et, pour moi, elle fait partie intégrante de l’histoire de la gnomonique. L’important est, bien sûr, d’en connaître les limites.

Les seuls écrits que nous ayons retrouvés et qui évoquent cette méthode sont :
  • Un texte contemporain de P. Drinkwater. Ce texte est une étude d’un carnet de notes de N. Kratzer, gnomoniste anglais du début du XVIe siècle. Drinkwater a trouvé dans ce carnet une méthode similaire à celle de l’auteur du manuscrit mais avec une façon différente de tracer les arcs de cercle et qui donne une approximation pour la latitude de 45 °. Drinkwater précise qu’il n’a pas connaissance d’avoir vu cette méthode ailleurs et en donne une extension pour différentes latitudes.
  • Une allusion de J. H. Lambert dans ses Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, tome II, p. 350, Berlin, 1770. La figure XIV correspondante se trouve ici, il faut lui rajouter le point D qui a été oublié par le graveur à l’intersection des arcs de cercle. Ici la méthode part bien d’un triangle équilatéral. Lambert ne la cite que pour préciser qu’elle est incorrecte et pour proposer la sienne qui est parfaitement rigoureuse et qui s’appuie sur la figure XV.
On a donc le sentiment que cette méthode est relativement ancienne et elle a certainement dû être utilisée car l’auteur du manuscrit précise : Laquelle méthode est sûre

Éric et moi aurions donc aimé en trouver des traces plus concrètes, par pure curiosité intellectuelle.
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Re: Recherche concernant une méthode graphique originale

Message : #29 Henri_G
mer. 14 nov. 2018 23:39

Oui, bien sûr, cela parle de cadran solaire .... mais quand on met cette méthode en équations, on trouve pour les lignes horaires une expression mathématique qui n' a rien à voir avec la formule tan(H')=sin(latitude)*tan(H).

Il n'empêche que si on n'impose pas à l'angle GFH d'être égal à 60° (et donc au point E d'être au milieu du segment FG), on peut tracer des cadrans à peu près corrects pour d'autres latitudes : GFH=57,6° pour la latitude 45°N, GFH=46° pour la latitude 35°N et GFH=68,5° pour la latitude 55°N etc.