Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

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Yvon_M
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Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #36 Yvon_M
dim. 18 nov. 2018 00:56

La mesure de la déclinaison est essentielle pour réaliser un cadran solaire. Il existe un grand nombre de méthodes avec leurs avantages et inconvénients. Michel Lalos en a listé plusieurs sur son site et celle qui est proposée ici est la dernière dans sa liste. Elle présente l’intérêt de donner en plus de la déclinaison, et en même temps, l’inclinaison de la surface. Si les murs modernes sont généralement bien verticaux (ce qui correspond à une inclinaison de 90°) ce n’est pas toujours le cas et il peut être intéressant dans le cas général de pouvoir mesurer cette inclinaison sans avoir à mettre en œuvre un autre outillage spécifique.

Pour utiliser cette méthode il est nécessaire de disposer d’une planchette dont la réalisation est décrite ci-dessous. Les choix proposés permettent de la réaliser à moindre coût tous en obtenant un dispositif fiable dont l’expérience a montré que les résultats obtenus était d’une précision plus qu’honorable et largement suffisants pour les besoins de la gnomonique.

Passons maintenant à la pratique :

Utiliser un morceau d’environ 40x40 cm d’une tablette blanche en particules de bois agglomérées généralement destinée à faire des étagères. La surface bien lisse permet de tracer précisément des traits au crayon qui peuvent ensuite être effacés à la gomme pour une nouvelle utilisation.

Vérifier que la planchette soit bien plane et choisir ou scier un bord bien rectiligne qui servira de référence. Pour le porte ombre, utiliser une tige filetée M8 ou M10 de 15 à 16 cm de longueur, trois écrous, une rondelle large, une petite plaque d’aluminium ou d’acier doux d’environ 1 mm d’épaisseur et un écrou à frapper, un truc qui ressemble à ça :

Image

Percer un trou adapté à l’écrou à frapper au milieu de la planchette et à quelques centimètres du bord de référence. À l’aide d’un outil bien tranchant, pratiquez ensuite grossièrement un logement pour noyer entièrement l’écrou à frapper et mettre celui-ci en place.

Image

À une extrémité de la tige filetée, visser un écrou sur quelques centimètres, enfiler ensuite la rondelle et visser la tige filetée dans l’écrou à frapper de façon que rien ne dépasse de l’autre côté de la planchette puis bloquer l’ensemble. La perpendicularité de la tige filetée par rapport à la planchette n’a pas d’importance, par contre elle doit être fixée bien rigidement.

Image

Dans la petite plaque métallique qui sera découpée à environ 3x5 cm, percer deux trous. Le premier au diamètre de la tige filetée et le second d’un diamètre de 1 mm. Fraiser ensuite ce dernier, à l’aide d’une fraise ou d’un forêt, jusqu’à ce que le trou soit presque entièrement conique.

Image

Fabriquer une équerre double avec une fiche bristol de 12,5x20 cm. Pour cela, à l’aide de l’extrémité d’un couteau pointu émoussé et utilisé comme un crayon, marquer une ligne au milieu de la fiche dans le sens de la largeur. Replier la fiche sur elle-même suivant cette marque et vérifier que les bords se superposent bien, ce qui signifie que l’équerre est correcte. Déplier alors la fiche jusqu’à obtenir un angle d’environ 90° et poser-la sur la planchette. Le pli est ainsi perpendiculaire à la surface de la planchette.

Le moment est venu de fixer la plaque sur la tige filetée à l’aide des deux écrous restants. Mettre la plaque en place, le plus petit diamètre du trou fraisé coté planchette, et régler sa hauteur de façon que l’équerre passe juste dessous sans frotter puis bloquer les écrous. Mesurer alors la largeur de la fiche, elle correspond à la hauteur du trou par rapport à la planchette.

Image

Reporter ensuite la position du trou perpendiculairement à la planchette en utilisant le pli de la fiche bristol afin d’obtenir l’origine du système d’axes. Tracer celui-ci : l’axe des y parallèlement au bord de référence et positif vers la droite de la photo, l’axe des x perpendiculairement et positif du coté opposé au bord de référence (vers le bas de la photo).

Image

La planchette est maintenant prête à être utilisée. Par une journée ensoleillée, quand la surface à mesurer est en plein soleil, il faut plaquer la planchette sur celle-ci et l’orienter à l’aide d’un niveau que l’on place sur le bord de référence, l’axe y est alors horizontal. Noter la position de la tache lumineuse correspondant au trou de la plaque par une petite croix au crayon en prenant soin de relever en même temps l’heure précise à quelques seconde près. Renouveler par sécurité cette opération deux à trois fois à quelques minutes d’intervalle, on peut constater à cette occasion que la tache de lumière se déplace assez rapidement, ce qui justifie de relever l’heure précisément.

Image

À l’aide d’un réglet, mesurer ensuite la distances des croix aux axes x et y pour obtenir leurs coordonnées. Faire attention à utiliser le bon signe.

Avant d’effectuer les calculs, il faut maintenant déterminer la position géographique du lieu. Le plus simple est d’utiliser Google Maps : il suffit de cliquer sur la carte à l’endroit concerné, les coordonnés géographiques sont retournées dans la petite fenêtre qui apparaît en bas de l’écran sous la forme latitude, longitude. La longitude est positive à l’est du méridien de Greenwich, négative à l’ouest.

Il ne reste plus qu’à renseigner toutes les valeurs obtenues précédemment dans le formulaire proposé par Michel Lalos et suivre ses indications. Le formulaire se trouve ici :
http://michel.lalos.free.fr/cadrans_solaires/outils_gno/Declinaison-gno-mur.php
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Henri_G
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Re: Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #38 Henri_G
dim. 18 nov. 2018 22:20

La méthode est a priori intéressante car elle permet de déterminer la déclinaison et l’inclinaison d’un mur.
A mon avis cependant, elle présente certaines limitations. En effet, j’ai voulu utiliser une telle méthode pour mesurer la déclinaison d’un mur bien vertical (une faible déclinaison, environ 10° Ouest). Un seul paramètre était à déterminer, il est inutile de mesurer X et Y, seule la longueur de l’ombre est nécessaire (ce qui évite une erreur dans l’orientation du repère). En voulant bien faire, j’ai fait les mesures autour de midi solaire .... et je ne suis arrivé à rien de bon et cela s’explique.

Faisons les hypothèses suivantes :
1- pour faire un cadran qui donne de bonnes indications, il faut que sa déclinaison soit mesurée à 1° près,
2- quand on fait les mesures de X et Y on peut faire une incertitude de mesure de 1 mm (c’est sans compter sur les erreurs systématiques dues à un mauvais positionnement de l’origine du repère XY et sur une ombre - soit d’un gnomon, soit d’un oeilleton - plus ou moins nette/allongée à cause de la pénombre)
Capture d’écran 2018-11-18 à 21.33.49.png
Capture d’écran 2018-11-18 à 21.33.49.png (152.62 Kio) Vu 138 fois

Le tableau montre que quelle que soit la date, il ne faut pas faire les mesures à midi solaire ou à 12h GMT. Les mesures de X et de Y ne varient pas assez avec la déclinaison du mur, même avec un gnomon de 100 mm, ce qui n’est pas rien (par contre, elles varient très vite avec le temps pour une déclinaison donnée car l’azimut du Soleil varie alors très vite).
En contrepartie, à 9h GMT (ou 15h GMT - pas montré dans le tableau) , on peut obtenir d’excellents résultats et ce presque toute l’année (zone en vert). Il n’est pas nécessaire d’ailleurs d’avoir un gnomon aussi long.

Ces conclusions sont valables quand le mur est vertical et peu déclinant. Que deviennent-elles quand le mur est très déclinant voire incliné ?

Donc méfiance ! Comme le dit Michel Lalos, il faut faire plusieurs mesures (au moins une le matin et une l'après-midi) pour améliorer la précision ... et ne pas s’étonner si certaines d’entre elles donnent des résultats qui paraissent aberrants.

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Re: Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #39 Yvon_M
mar. 20 nov. 2018 00:12

Vous avez raison Henri, la méthode que vous avez utilisée (et qui n’est pas celle que j’ai proposée) présente une véritable imprécision lorsque la direction de l’ombre est verticale. La raison peut aussi s’expliquer d’une manière différente.

En fait ces deux méthodes, la vôtre qui consiste à mesurer la longueur de l’ombre (méthode L) et celle que j’ai proposée (méthode XY) reviennent à résoudre le triangle sphérique ZSK, c’est-à-dire Zénith-Soleil-prolongement du gnomon = K. Dans les deux cas l’angle ZS = complément de la hauteur du soleil est connu.

Dans le cas de la méthode L, l’angle ZK = inclinaison du mur est considéré connu et la longueur de l’ombre permet de déterminer l’angle SK. La connaissance des 3 côtés du triangle permet de le résoudre et on peut calculer l’angle au zénith qui correspond à la différence entre l’azimut du Soleil et la déclinaison de la surface. L’azimut du Soleil étant connu on en déduit la déclinaison.

Le cas où l’ombre du gnomon est proche de la verticale (celui qui donne des résultats très variables) correspond à un triangle très plat : les points ZSK sont proche de l’alignement. Ainsi une petite dispersion sur la mesure (et donc sur SK) produit des effets importants sur l’angle au zénith. Mais il faut aussi compter que l’inclinaison, qui n’est pas parfaitement celle que l’on introduit dans les calculs, produit les mêmes effets.

Prenons un cas de figure simple : plan supposé vertical, hauteur du soleil = 45°, angle SK mesuré = 45,4° (ce qui correspond à peu près à la configuration du 21 mars 12h TU dans le second tableau). Le calcul de l’angle au zénith donne Z = 6,786°
Refaisons le calcul pour SK = 45,5°, on obtient Z = 7,591°
En gardant SK = 45,4° et en prenant une inclinaison de 89,9°, on obtient Z = 7,585°
L’erreur sur chaque côté du triangle est donc pratiquement multipliée par 8 au niveau du résultat !!!

Dans le cas de la méthode XY, les valeurs mesurées permettent de calculer l’angle SK, comme précédemment, mais aussi l’angle au point K. On connaît donc deux côtés et un angle ce qui permet de résoudre le triangle ZSK avec des contraintes différentes.

En reprenant le cas de figure ci-dessus, l’angle au point K est de 6,739°
Refaisons le calcul pour SK = 45,5°, on obtient Z = 6,798° et une inclinaison de 90,099°
En gardant SK = 45,4° et en prenant K = 6,639°, on obtient Z = 6,685° et une inclinaison de 90,012°
L’erreur de mesure se reporte donc ou sur l’inclinaison ou sur la déclinaison mais n’est pas amplifiée.

Dans le cas figure considéré la méthode XY ne présente donc pas l’imprécision que Henri a constatée avec la méthode L.

J’ai personnellement utilisé la méthode XY à 3 ou 4 reprises. À chaque fois j’ai pris la précaution de relever 4 à 5 points dans l’intervalle d’une demi-heure. Les inclinaisons et déclinaisons obtenues pour chaque point avaient une dispersion inférieure au tiers de degrés ce qui m’a permis de m’assurer que les résultats étaient corrects.

Il est toutefois possible que la méthode XY ait une configuration d’imprécision mais je ne l’ai pas rencontrée. Il est aussi possible qu’elle n’en ait pas. Quelqu’un pourrait-il répondre à cette question ?
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Re: Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #40 Henri_G
mar. 20 nov. 2018 13:51

Merci pour votre réponse. J'avoue ne pas avoir tout compris car j'ai banni (à tord sans doute) la trigonométrie sphérique (on peut s'en passer) de mon faible bagage de gnomoniste.

Le tableau que j'ai donné rassemble des calculs a priori des coordonnées X et Y de l'ombre de l'extrémité d'un gnomon pour un mur faiblement déclinant et bien vertical. Les zones rouges correspondent pour moi aux dates et heures où il vaut mieux éviter de faire des mesures car X et Y ne varient pas assez avec la déclinaison du mur pour obtenir des résultats satisfaisants.

Par contre, j'ai obtenu d'excellents résultats pour la déclinaison du mur (déterminée à moins de 1/2 degré) en utilisant la mesure L (L pour longueur de l'ombre) en faisant des mesures tôt le matin et en fin d'après-midi sur un mur bien vertical en plein été.

En conclusion, pour moi, la méthode XY (si on peut la baptiser ainsi la mesure de X et Y) est très intéressante car elle donne à la fois la déclinaison du mur et son inclinaison (la méthode L ne peut donner qu'un seul paramètre quand on connaît l'autre). Il convient toutefois d'être très soigneux dans les mesures, de ne pas les faire n'importe quand et d'être très critique sur les résultats obtenus.

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Re: Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #44 Yvon_M
jeu. 22 nov. 2018 00:17

Bien sûr, la trigonométrie sphérique n’est pas indispensable, c’est un outil comme un autre. Mais je trouve personnellement qu’elle a l’avantage d’être très synthétique (dans notre cas, elle permet notamment de mettre en évidence les perturbations que peut provoquer l’erreur de inclinaison introduite dans les calculs de la méthode L). Cela m’a amené à proposer un logiciel libre, TriSph, qui permet de résoudre les triangles et que j’utilise assez fréquemment, surtout dans le cas de problème inversé comme par exemple : trouver la latitude et la déclinaison d’un cadran vertical dont le style est perdu à partir de l’angle de la sous-stylaire et de l’heure correspondante.

Mais cela nous éloigne du sujet :)
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Re: Mesure de la déclinaison et de l’inclinaison d’une surface

Message : #45 Henri_G
jeu. 22 nov. 2018 09:48

Allez, je change d'avis, je vais m'y remettre (j'ai démontré toutes les formules, il y a bien une vingtaine d'années) ... mais le problème du style perdu peut être résolu sans elle ! :)